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【转】秩亏自由网平差

  

秩亏自由网平差

    在前面介绍的经典平差中,都是以已知的起算数据为基础,将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程,平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时,我们称其为自由网,本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法,即自由网平差

在经典间接平差中,网中具备必要的起算数据,误差方程为

                 【转载】秩亏自由网平差                                         8-2-1

式中系数阵【转载】秩亏自由网平差为列满秩矩阵,其秩为【转载】秩亏自由网平差 。在最小二乘准则下得到的法方程为

                            【转载】秩亏自由网平差                                 8-2-2

由于其系数阵的秩为【转载】秩亏自由网平差,所以【转载】秩亏自由网平差为满秩矩阵,即为非奇异阵,具有凯利逆【转载】秩亏自由网平差,因此具有唯一解,即

                              【转载】秩亏自由网平差                                 8-2-3

当网中无起算数据时,网中所有点均为待定点,设未知参数的个数为u,误差方程为

【转载】秩亏自由网平差                              8-2-4

式中

                               【转载】秩亏自由网平差

*为必要的起算数据个数。尽管增加了【转载】秩亏自由网平差个参数,但【转载】秩亏自由网平差的秩仍为必要观测个数,即

【转载】秩亏自由网平差

其中*为不满秩矩阵,称为秩亏阵,其秩亏数为【转载】秩亏自由网平差

组成法方程

                               【转载】秩亏自由网平差                               8-2-5

式中 【转载】秩亏自由网平差,且【转载】秩亏自由网平差,所以【转载】秩亏自由网平差也为秩亏阵,秩亏数为:   

【转载】秩亏自由网平差                                  8-2-6

由上式知,不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有:

【转载】秩亏自由网平差

在控制网秩亏的情况下,法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则,仍无法求得【转载】秩亏自由网平差的唯一解,这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解,还必须增加新的约束条件,来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘【转载】秩亏自由网平差和最小范数【转载】秩亏自由网平差的条件下,求参数一组最佳估值的平差方法。

下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。

 一、直接解法

根据广义逆理论,相容方程组【转载】秩亏自由网平差虽然具有无穷多组解,但它有唯一的最小范数解,即:

                         【转载】秩亏自由网平差                                  8-2-7

式中【转载】秩亏自由网平差,称为矩阵【转载】秩亏自由网平差的最小范数g逆。【转载】秩亏自由网平差称为矩阵【转载】秩亏自由网平差g逆。代入(8-2-7)式得

                        【转载】秩亏自由网平差                                 8-2-8

上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂,下面将公式做进一步改化:

                   

                        【转载】秩亏自由网平差                          8-2-9

                    【转载】秩亏自由网平差                                      8-2-10

式中【转载】秩亏自由网平差行满秩,即【转载】秩亏自由网平差,于是有

                【转载】秩亏自由网平差                8-2-11

【转载】秩亏自由网平差,所以【转载】秩亏自由网平差为满秩方阵,按照降阶法求矩阵广义逆的方法,即:如果有矩阵

【转载】秩亏自由网平差

其中【转载】秩亏自由网平差存在凯利逆,则有【转载】秩亏自由网平差g

【转载】秩亏自由网平差                                   8-2-12

根据上式可得

                【转载】秩亏自由网平差                    8-2-13

代入(8-2-8)式,得

                【转载】秩亏自由网平差                    8-2-14

或写成

                       【转载】秩亏自由网平差                                8-2-15

未知参数的协因数阵为:

            【转载】秩亏自由网平差              8-2-16

二、附加条件法(伪观测值法)

前面已提及,秩亏自由网平差就是在满足最小二乘【转载】秩亏自由网平差和最小范数【转载】秩亏自由网平差的条件下,求参数一组最佳估值的平差方法,实际上就是求相容方程组【转载】秩亏自由网平差的最小范数解。附加条件法的基本思想:由于网中没有起算数据,平差时多选了d个未知参数,因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式,即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程,从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于【转载】秩亏自由网平差的限制条件方程的具体形式。

为叙述方便,我们先给出该限制条件方程,然后再推导平差计算公式,最后证明,在给定的限制条件方程下所求得的解,就是相容方程组【转载】秩亏自由网平差的最小范数解。

设等价于约束条件【转载】秩亏自由网平差的限制条件方程为

                        【转载】秩亏自由网平差                                   8-2-17

式中【转载】秩亏自由网平差且满足【转载】秩亏自由网平差【转载】秩亏自由网平差称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为

                     【转载】秩亏自由网平差     权阵为【转载】秩亏自由网平差

                 【转载】秩亏自由网平差

按照附有条件的间接平差可得法方程

                     【转载】秩亏自由网平差                            8-2-18

式中【转载】秩亏自由网平差,且【转载】秩亏自由网平差,唯一不同的是这里【转载】秩亏自由网平差为秩亏阵。

为解决秩亏问题,将(8-2-18)中的第二式左乘【转载】秩亏自由网平差矩阵后,再加到第一组中得:

                【转载】秩亏自由网平差                             8-2-19

式中【转载】秩亏自由网平差,且【转载】秩亏自由网平差

根据附有条件的间接平差原理,上式的解为

               【转载】秩亏自由网平差                                  8-2-20

                   【转载】秩亏自由网平差                                    8-2-21

由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个附加条件,按照附有条件的间接平差法而实现的,因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同于经典的附有条件的间接平差法,其主要表现为:当【转载】秩亏自由网平差阵满足【转载】秩亏自由网平差时,必定有下式成立(证明从略)

                       【转载】秩亏自由网平差                                       8-2-22

将(8-2-22)式代入(8-2-21)式,可得参数的解为

                           【转载】秩亏自由网平差                         8-2-23

现在只需证明,按(8-2-23)式求得的解【转载】秩亏自由网平差就是法方程【转载】秩亏自由网平差的最小范数解。为此只需证明【转载】秩亏自由网平差【转载】秩亏自由网平差的最小范数g逆中的一个即可,即只需证明【转载】秩亏自由网平差满足以下两式:

                    【转载】秩亏自由网平差                  8-2-24

现证明如下:因为 【转载】秩亏自由网平差 ,所以有

        【转载】秩亏自由网平差

右乘【转载】秩亏自由网平差阵并展开,则有

【转载】秩亏自由网平差

【转载】秩亏自由网平差,所以有

                【转载】秩亏自由网平差                                          8-2-25

由于【转载】秩亏自由网平差,存在逆阵,则有

                【转载】秩亏自由网平差                                         8-2-26

所以有

    【转载】秩亏自由网平差                  8-2-27

【转载】秩亏自由网平差                         8-2-28

因此(8-2-24)第一式得到验证。

    由(8-2-27)式得

            【转载】秩亏自由网平差

考虑到(8-2-26)式,则上式为

     【转载】秩亏自由网平差                 8-2-29

8-2-28)、(8-2-29)两式说明【转载】秩亏自由网平差【转载】秩亏自由网平差的最小范数g逆中的一个,因此按(8-2-23)式求得的【转载】秩亏自由网平差一定是相容方程组【转载】秩亏自由网平差的最小范数解。

三、精度评定

 

单位权中误差估值的计算

                    【转载】秩亏自由网平差                                  8-2-30

式中【转载】秩亏自由网平差可以直接计算,也可以按下式求得

                   【转载】秩亏自由网平差                               8-2-31

未知参数的协因数阵为

                  【转载】秩亏自由网平差

                       【转载】秩亏自由网平差

                       【转载】秩亏自由网平差

                       【转载】秩亏自由网平差                           8-2-32

实际计算时,通常要对【转载】秩亏自由网平差进行标准化,设标准化后的【转载】秩亏自由网平差阵用【转载】秩亏自由网平差表示,即不仅要求满足【转载】秩亏自由网平差,还要求满足【转载】秩亏自由网平差,此时(8-2-26)式变成【转载】秩亏自由网平差,转置后有【转载】秩亏自由网平差,因此(8-2-32)式将变成如下形式

                         【转载】秩亏自由网平差                               8-2-33

四、两点说明

若将【转载】秩亏自由网平差代入法方程,则法方程变为

                    【转载】秩亏自由网平差

上式相当于下列误差方程联合组成的法方程

【转载】秩亏自由网平差

上式的第一式为观测值【转载】秩亏自由网平差的误差方程,第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟误差方程,因此附加条件法又叫伪观测值法。

该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆,因此便于计算和计算机编程,但首要条件是必须知道附加阵【转载】秩亏自由网平差,关于附加阵的确定问题,本教材不准备作详细讨论,下面直接给出常见控制网的附加阵【转载】秩亏自由网平差及其标准化后的矩阵【转载】秩亏自由网平差的具体形式:

水准网(设有u个点)

     【转载】秩亏自由网平差 【转载】秩亏自由网平差                8-2-34

测边网(设有m个点)

            【转载】秩亏自由网平差              8-2-35

式中【转载】秩亏自由网平差为第I点的近似坐标

            【转载】秩亏自由网平差          8-2-36

式中【转载】秩亏自由网平差是以中心坐标为原点的第I点的近似坐标,它们的计算如下:

               【转载】秩亏自由网平差【转载】秩亏自由网平差

【转载】秩亏自由网平差

测角网(设有m个点)

只需在(8-2-35)式中增加一行【转载】秩亏自由网平差元素、在(8-2-36)式中增加一行【转载】秩亏自由网平差元素即可得到相应的【转载】秩亏自由网平差阵和【转载】秩亏自由网平差阵。

 

[8-3] 如图8-2水准网,【转载】秩亏自由网平差点全为待定点,同精度独立高差观测值为【转载】秩亏自由网平差【转载】秩亏自由网平差【转载】秩亏自由网平差,平差时选取【转载】秩亏自由网平差三个待定点的高程平差值为未知参数【转载】秩亏自由网平差,并取近似值

【转载】秩亏自由网平差       【转载】秩亏自由网平差

试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵。

解:1.直接解法

误差方程为

                      【转载】秩亏自由网平差

法方程为

                      【转载】秩亏自由网平差

由法方程易知

【转载】秩亏自由网平差  【转载】秩亏自由网平差  【转载】秩亏自由网平差

所以有

【转载】秩亏自由网平差

未知参数的改正数为

                    【转载】秩亏自由网平差

未知参数的平差值为

【转载】秩亏自由网平差

未知参数的协因数阵为

                   【转载】秩亏自由网平差

 

2.附加条件法

解法一中已求得法方程为【转载】秩亏自由网平差的具体形式为:

                      【转载】秩亏自由网平差

该水准网有3个待定点,所以附加阵为

【转载】秩亏自由网平差 

【转载】秩亏自由网平差

则有

                        【转载】秩亏自由网平差

                          【转载】秩亏自由网平差

                          【转载】秩亏自由网平差

                        【转载】秩亏自由网平差

所以有

【转载】秩亏自由网平差

未知参数的的协因数阵为

【转载】秩亏自由网平差

结果与直接解法完全相同。