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【转】序贯平差

序贯平差

 

序惯平差也叫逐次相关间接平差,它是将观测值分成两组或多组,按组的顺序分别做相关间接平差,从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低,减轻计算强度,现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算,即观测值可以是不同期的,平差工作可以分期进行。本节的理论公式推导,以分两组为例。

一、序惯平差原理

设某平差问题,观测向量,现把它分为两组,组内相关,组间互不相关,即:

                 8-1-1

按间接平差原理选取参数,取近似,改正数为,分组后两组的误差方程分别为

                                  权阵                     8-1-2a

                                 权阵                    8-1-2b

                            i=12

若按整体平差,误差方程可以写为

                  权阵为

按间接平差原理可得其法方程为

由上式可得

 

             

按分组平差,先对第一组误差方程进行第一次平差(因未顾及第二组观测值,所以第一次平差只能得到的第一次近似值,用表示)。函数模型可改写为

                              权阵                    8-1-3

按间接平差原理,可以直接给出公式,其法方程为

                                               8-1-4

未知参数的第一次改正数

                                                    8-1-5

未知参数的第一次平差值

                                                        8-1-6

第一次平差后未知参数的权阵为

                                                     8-1-7

代入(8-1-3)式,得观测值的第一次改正数,而

再单独对第二组误差方程作第二次平差,此时,应把第一次平差后求得的参数作为虚拟观测值参与平差,其权阵为。误差方程为:

                       8-1-8

由上式知 ,其中称为参数的第二次改正数。联合第二组误差方程。即:

                                8-1-9

其中

由(8-1-8)、(8-1-9)联合组成法方程为

             

                                         8-1-10

由上式可得参数的第二次改正数为

                                               8-1-11

将上式代入(8-1-9)即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求呢?我们可以用分别代替(8-1-2a)中的,即:

                    

因为经过第一次平差后,已使成立,所以有

                                                              8-1-12

最后的平差值为:

                                              8-1-13

                                                             8-1-14

                                              8-1-15

下面给出精度评定公式。

单位权中误差估值:

                                                        8-1-16

其中,推证如下:

           

               

所以

           

                  

但是

           

并顾及,则有

                                   8-1-17

未知参数的协因数阵:

                                             8-1-18

未知参数函数的协因数及中误差:

设有参数函数的权函数式:

                                 8-1-19

                                                     8-1-20

[8-1] 如图8-1水准网,为已知点,第一期同精度独立观测,第二期同精度独立观测,观测值为:,试按逐次间接平差法求两点高程的平差值及点高程的中误差?

解:本题,选两点高程平差值为未知参数,并取其近似值为:

    

     列立第一期误差方程

             

                 权阵

             

写成的形式为

                             

     组成法方程

                        

                             

     解得参数的第一次改正数及其权阵

                          

                         

                         

     求第一期观测值的第一次改正数

                         

     列立第二期误差方程,可用第一期平差后的参数平差值直接列立,此时误差方程常数项就是,即

     权阵

写成矩阵形式

                        

也可以用参数的初始近似值列出,此时的误差方程常数项为,即

                        

其中

                        

则误差方程可写为

                        

结果一样。

     顾及第一次平差结果,组成法方程

                        

     求解参数的第二次改正数及平差值

     计算第二期观测值的改正数

            

     计算单位权中误差

            

                 

            

     计算C点高程平差值中误差,即参数的中误差

             

             

 

二、序惯平差的三种特殊情况

 

1.第二次平差增加新的参数

设两组的误差方程为

                              权阵                   8-1-21

                            权阵                   8-1-22

式中是共同的未知参数,是新增加的未知参数。

    第一次平差可得:                            8-1-23

                                                       8-1-24

                                                      8-1-25

第二次平差的误差方程为

                               权阵           8-1-26

                    权阵                       8-1-27

式中:                  8-1-28

组成法方程为

                        8-1-29

                                 8-1-30

解算法方程可得,代入(8-1-27)可求得 。最后得参数平差值为

                   

               

2.二次平差的参数仅是第一次平差参数的一部分

设两组的误差方程为:

                       权阵                    8-1-31

                             权阵                    8-1-32

第一次平差的法方程为:

                                    8-1-33

                                 8-1-34

由法方程可求得,其权阵为:      

                                           8-1-35

                   

                   

    二次平差的误差方程

                                  权阵                8-1-36

                        权阵               8-1-37

式中:

 

顾及(8-1-35)式,组成法方程如下:

                                               8-1-38

               8-1-39

由(8-1-38)式可得:

                                               8-1-40

代入(8-1-39)式,整理后得

                                       8-1-41

式中

                8-1-42

由(8-1-41)可解得。参数的平差值为

                                            8-1-43

                                          8-1-44

3.上述两种情况的综合

两组的误差方程为:

                           权阵                8-1-45

                          权阵                 8-1-46

第一次平差与上述第二种情况完全相同,其法方程、、权阵、参数的第一次平差值等见(8-1-33)、(8-1-34)、(8-1-35)式,其中的计算见(8-1-42)式。      

二次平差类似于第一种情况的第二次平差,由下列法方程解得,常数项由(8-1-49)求得。

             8-1-47

                                       8-1-48

其中                     8-1-49

按下式计算的值

                                                8-1-50

最后计算参数的平差值

                                             8-1-51

                                             8-1-52

                                                           8-1-53

[8-2] 设有两组误差方程

                   权阵

                   权阵

试按逐次间接平差法求未知参数的平差值。

解:本题符合第三种特殊情况,即符合如下形式:

                      

                     

                   

               

第一次平差的法方程为:

                              

                            

                     

其解为

                         

未知参数的权阵为

                         

第二次平差的法方程为

    

            

                       

其解为

                       

                       

参数的平差值为