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复分析复习9——全纯函数各阶导数在紧集上的一致估计

    复习8中我们得到单位分解定理,现在便可以推导一个全纯函数各阶导数在紧集上的一致估计了.

我们先来证明一个引理,事实上他是单位分解定理的一个简单推论:设$\Omega\subset\mathbb C$为开集,$K$为$\Omega$的紧致子集,$V$为$K$的开邻域且$V\subset\Omega$,则存在$\varphi\in\mathscr D(V)$使得

1)$0\leq\varphi\leq1$;

2)在$V$的某邻域上有$\varphi\equiv1$.

证    对任意的$\varepsilon>0$,令

V(K,ε)?{zC:ρ(K,z)>ε}
<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">V(K,\varepsilon)\triangleq\{z\in\mathbb C:\rho(K,z)>\varepsilon\}</script>

我们可以选取适当的$\varepsilon$使得

K?V(K,ε)?Vˉˉˉ(K,2ε)?V
<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex; mode=display">K\subset V(K,\varepsilon)\subset\overline{V}(K,2\varepsilon)\subset V</script>

那么集合$\Omega_{1}=V(K,2\varepsilon)$和$\Omega_{2}=\Omega\setminus\overline{V}(K,\varepsilon)$构成了$\Omega$的一个开覆盖,根据单位分解定理,存在着序列$\{f_{n}(z)\}_{n\in\mathbb N^*}\subset\mathscr D(\Omega)$满足单位分解定理的三个性质.令

φ(z)=suppfi(z)?Ω1fi(z)
<script id="MathJax-Element-3" type="math/tex; mode=display">\varphi(z)=\sum_{{\rm supp}f_{i}(z)\subset\Omega_{1}}f_{i}(z)</script>

显然$\varphi(z)\in\mathscr D(\Omega)$且

0φ(z)1
<script id="MathJax-Element-4" type="math/tex; mode=display">0\leq\varphi(z)\leq1</script>

另一方面注意到若${\rm supp}f_{j}(z)\not\subset\Omega_{1}$,则必有

suppfj(z)?Ω2
<script id="MathJax-Element-5" type="math/tex; mode=display">{\rm supp}f_{j}(z)\subset\Omega_{2}</script>

因此在$\overline{V}(K,\varepsilon)$上恒有

fj(z)=0
<script id="MathJax-Element-6" type="math/tex; mode=display">f_{j}(z)=0</script>

这样在$V(K,\varepsilon)$上

φ(z)=iN?fi(z)1.
<script id="MathJax-Element-7" type="math/tex; mode=display">\varphi(z)=\sum_{i\in\mathbb N^*}f_{i}(z)\equiv1.</script>

全纯函数各阶导数在紧集上的一致估计:设区域$U\subset\mathbb C$,且$K$为$U$的紧子集,而$V$为$K$的邻域并且$\overline{V}$也是$U$的紧子集,那么我们有:对$U$中任意的全纯函数$f(z)$,都存在着数列$\{c_{n}\},n\in\mathbb N^*$使得

supzK|f(n)(z)|cnfL(V)
<script id="MathJax-Element-8" type="math/tex; mode=display">\sup_{z\in K}|f^{(n)}(z)|\leq c_{n}\|f\|_{L(V)}</script>

其中$\|f\|_{L(V)}$定义为

1A(V)V|f(ζ)|dA.
<script id="MathJax-Element-9" type="math/tex; mode=display">\frac{1}{A(V)}\int_{V}|f(\zeta)|{\rm d}A.</script>

证    根据引理在$V$中存在$C^{\infty}$函数$g(z)$满足:在$V$上具有紧致的支集且在$K$的含于$V$的邻域内取值为1.那么对函数$fg$应用Pompeiu公式得

f(z)g(z)=12πi?Uf(ζ)g(ζ)ζ?zdζ+12πi?U?(fg)?ζˉ?dζdζˉζ?z=12πi?U(f?g?ζˉ+g?f?ζˉ)dζdζˉζ?z
<script id="MathJax-Element-10" type="math/tex; mode=display">\begin{align*}f(z)g(z)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial U}\frac{f(\zeta)g(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta+\frac{1}{2\pi i}\iint\limits_{U}\frac{\partial(fg)}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\zeta\wedge{\rm d}\overline{\zeta}}{\zeta-z}\\&=\frac{1}{2\pi i}\iint\limits_{U}\left(f\frac{\partial g}{\partial\overline{\zeta}}+g\frac{\partial f}{\partial\overline{\zeta}}\right)\frac{{\rm d}\zeta\wedge{\rm d}\overline{\zeta}}{\zeta-z}\end{align*}</script>

注意到$f$全纯,从而$\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}=0$.再者注意到$K_{1}={\rm supp}\frac{\partial g}{\partial\overline{z}}$是$V$的紧子集,而在$K$上,常有$\frac{\partial g}{\partial\overline{\zeta}}=0$,从而

ρ(K1,K)>0(1)
<script id="MathJax-Element-11" type="math/tex; mode=display">\begin{align*}\rho(K_{1},K)>0\tag{1}\end{align*}</script>

因此当$z\in K$时

f(z)?f(n)(z)?f(n)(z)=12πi?K1f?g?ζˉ?dζdζˉζ?z=n!2πi?K1f?g?ζˉ?dζdζˉ(ζ?z)n+1n!2π?K1|f(ζ)|??g?ζˉ?dζdζˉ(ζ?z)n+1
<script id="MathJax-Element-12" type="math/tex; mode=display">\begin{align*}f(z)&=\frac{1}{2\pi i}\iint\limits_{K_{1}}f\frac{\partial g}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\zeta\wedge{\rm d}\overline{\zeta}}{\zeta-z}\\\Rightarrow f^{(n)}(z)&=\frac{n!}{2\pi i}\iint\limits_{K_{1}}f\frac{\partial g}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\zeta\wedge{\rm d}\overline{\zeta}}{(\zeta-z)^{n+1}}\\\Rightarrow\left|f^{(n)}(z)\right|&\leq\frac{n!}{2\pi}\iint\limits_{K_{1}}|f(\zeta)|\cdot\left|\frac{\partial g}{\partial\overline{\zeta}}\right|\cdot\left|\frac{{\rm d}\zeta\wedge{\rm d}\overline{\zeta}}{(\zeta-z)^{n+1}}\right|\end{align*}</script>

由(1)可知,存在$M>0$使得

1|ζ?z|<M,\foallzK,ζK1
<script id="MathJax-Element-13" type="math/tex; mode=display">\frac{1}{|\zeta-z|}

另一方面$C^{\infty}$的函数$g$在紧集$K_{1}$上必然有$\left|\frac{\partial g}{\partial\overline{\zeta}}\right|$有界,因此存在常数$a_{n}$使得

f(n)(z)2an?K1|f(ζ)|dA?cnfL(V)
<script id="MathJax-Element-14" type="math/tex; mode=display">\begin{align*}\left|f^{(n)}(z)\right|&\leq 2a_{n}\iint\limits_{K_{1}}|f(\zeta)|{\rm d}A\\&\triangleq c_{n}\|f\|_{L(V)}\end{align*}</script>

这样我们就给出了一个全纯函数$f(z)$在紧集$K$上各阶导数的一致估计了.

显然这个结果要比我们之前得到的估计式子要深刻的多.