关于复数的辐角、主辐角都没什么可说的.只要注意一点就是复数$z$的主辐角的取值范围
0≤argz<2π
<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">0\leq\arg z<2\pi</script>
显然$[0,+\infty)$上的点都是$\arg$的间断点.并且$\arg$是$\mathbb{C}\setminus\{0\}\to[0,2\pi)$的单值函数.但是辐角${\rm Arg}$确是一个多值函数.
设$z=x+iy$,由此便可用平面上的坐标来与之一一对应,这样便得到了复平面$\mathbb C$.现在的问题是无穷远点$\infty$如何处理？
几何模型是将一个单位球与$\mathbb C$平面相切的放于$\mathbb C$上,并且设北极点为$A$,那么球面上任意一点$B$,我们连接$AB$并延长交$\mathbb C$平面于$C$,这样我们得到了复球面与复平面之间的一一对应,而无穷远点则对应于球面上的$A$点.有的时候也将这个球面称为Riemann面.这样的话假想的点$\infty$在球面上就不再是假想的了.我们将$\mathbb C+\{\infty\}$叫做扩充复平面,记做$\mathbb{C}_{\infty},\mathbb{C}^*$.
这部分没啥可说的.突然想起一个比较经典的题目,就是采用复数的辐角来做的.问题是求如下无穷级数的和
∑n=1∞arctan1n2
<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex; mode=display">\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\frac{1}{n^2}</script>
这个问题无法用以前的
arctanx?y1+xy=arctanx?arctany
<script id="MathJax-Element-3" type="math/tex; mode=display">\arctan\frac{x-y}{1+xy}=\arctan x-\arctan y</script>
裂项来做.这里有一个采用复数辐角的方法,注意到
arctan1n2=arg(1+in2)
<script id="MathJax-Element-4" type="math/tex; mode=display">\arctan\frac{1}{n^2}=\arg\left(1+\frac{i}{n^2}\right)</script>
从而
∑n=1∞arctan1n2=arg∏n=1∞(1+in2)
<script id="MathJax-Element-5" type="math/tex; mode=display">\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\frac{1}{n^2}=\arg\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{i}{n^2}\right)</script>
=arg∏n=1∞????1+(π(1+i)2√)2n2π2????
<script id="MathJax-Element-6" type="math/tex; mode=display">=\arg\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{\left(\frac{\pi(1+i)}{\sqrt2}\right)^2}{n^2\pi^2}\right)</script>
=argsinh(π(1+i)2√)π(1+i)2√
<script id="MathJax-Element-7" type="math/tex; mode=display">=\arg\frac{{\rm sinh}\left(\frac{\pi(1+i)}{\sqrt2}\right)}{\frac{\pi(1+i)}{\sqrt2}}</script>
$$=\arctan\left(\frac{\tan\frac{\pi}{\sqrt2}-{\rm tanh}\frac{\pi}{\sqrt2}}{\tan\frac{\pi}{\sqrt2}+{\rm tanh}\frac{\pi}{\sqrt2}}\right)$$
(不知道为啥编译显示不出来？毕竟是博客，貌似不能用数学环境,编辑公式还是比较不方便的)
另外上面的解答用到了双曲正弦函数${\rm sinh}$的无穷乘积展开式
sinhx=x∏n=1∞(1+x2n2π2)
<script id="MathJax-Element-8" type="math/tex; mode=display">{\rm sinh}x=x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)</script>
