复值函数的积分是这样定义的.设有向曲线$\gamma:z=z(t),t\in[\alpha,\beta]$,并且$a=z(\alpha)$为起点,$b=z(\beta)$为终点.现沿着$\gamma$方向任取分点

\[a=a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}=b\]

考虑和式

$$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta_{k},\xi_{k}\in[a_{k-1},a_{k}]$$

当分点无限增多,而

$$\max\{\Delta_{k}\}\to0$$

时,如果$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$存在且等于$I$,称$f(z)$沿$\gamma$可积,记做

$$I=\int_{\gamma}f(z){\rm d}z.$$

如果设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$,则

\[\int_{\gamma}f(z){\rm d}z=\int_{\gamma}(u+iv)({\rm d}x+i{\rm d}y)\]

\[=\int_{\gamma}u{\rm d}x-v{\rm d}y+i\int_{\gamma}v{\rm d}x+u{\rm d}y\]

    如同实函数一样,同样的我们用外微分形式的观点来看复值函数的积分.为此我们将给定函数$f(z)$视作$z,\overline{z}$的函数且二者独立.那么

\[{\rm d}\overline{z}\wedge{\rm d}z=({\rm d}x-i{\rm d}y)\wedge({\rm d}x+i{\rm d}y)\]

\[=2i{\rm d}\sigma\]

这里${\rm d}\sigma$为二维的面积元素.并且我们再定义算子

\[\partial f=\frac{\partial f}{\partial z}{\rm d}z,\overline{\partial}f=\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}{\rm d}\overline{z}\]

并且设$\omega$是一个复的外微分形式,定义

\[{\rm d}\omega=\partial\omega+\overline{\partial}\omega\]

显然${\rm dd}\omega\equiv0$.据此我们便可得到复形式的Green公式:设$\omega=\omega_{1}{\rm d}z+\omega_{2}{\rm d}\overline{z}$为区域$\Omega$上的一次外微分形式,则

\[\int_{\partial\Omega}\omega=\int_{\Omega}{\rm d}\omega\]

他的证明也是容易的,只需设$\omega_{1}=f_{1}+ig_{1},\omega_{2}=f_{2}+ig_{2}$,其中$f,g$都是实函数,只需计算${\rm d}\omega$即可.

据此我们便可得到所谓的Pompeiu公式：若$\Omega\subset\mathbb C$为有界区域,且有$C^1$边界条件,设$f(z)\in C^1(\overline{\Omega})$,那么我们有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta-\frac{1}{\pi}\int_{\Omega}\frac{\partial f(\zeta)}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm d}\sigma}{\zeta-z}\]

我们来证明一下,取$z$的邻域$B(z,\varepsilon)\subset \Omega$,据Green公式有

\[\int_{\partial\Omega-\partial B(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta=\int_{\Omega\setminus B(z,\varepsilon)}{\rm d}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\right)\]

我们来计算外微分形式${\rm d}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\right)$