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图基本算法 最小生成树 Prim算法（邻接表+优先队列STL）

2024-07-04 20:24:25   222人阅读

　　这篇文章是对《算法导论》上Prim算法求无向连通图最小生成树的一个总结，其中有关于我的一点点小看法。

　　最小生成树的具体问题可以用下面的语言阐述：
　　　　输入：一个无向带权图G=(V,E)，对于每一条边(u, v)属于E，都有一个权值w。

　　　　输出：这个图的最小生成树，即一棵连接所有顶点的树，且这棵树中的边的权值的和最小。

　　举例如下，求下图的最小生成树：

　　这个问题是求解一个最优解的过程。那么怎样才算最优呢？

　　首先我们考虑最优子结构：如果一个问题的最优解中包含了子问题的最优解，则该问题具有最优子结构。

　　最小生成树是满足最优子结构的，下面会给出证明：

　　最优子结构描述：假设我们已经得到了一个图的最小生成树(MST) T，(u, v)是这棵树中的任意一条边。如图所示：

　　　　现在我们把这条边移除，就得到了两科子树T1和T2，如图：

 

　　　　T1是图G1=(V1, E1)的最小生成树，G1是由T1的顶点导出的图G的子图，E1={(x, y)∈E, x, y ∈V1}

　　　　同理可得T2是图G2=(V2, E2)的最小生成树，G2是由T2的顶点导出的图G的子图，E2={(x, y)∈E, x, y ∈V2}

　　现在我们来证明上述结论：使用剪贴法。w(T)表示T树的权值和。

　　　　首先权值关系满足：w(T) = w(u, v)+w(T1)+w(T2)

　　　　假设存在一棵树T1‘比T1更适合图G1，那么就存在T‘={(u,v)}UT1‘UT2‘，那么T‘就会比T更适合图G，这与T是最优解相矛盾。得证。

　　因此最小生成树具有最优子结构，那么它是否还具有重叠子问题性质呢？我们可以发现，不管删除那条边，上述的最优子结构性质都满足，都可以同样求解，因此是满足重叠子问题性质的。

　　考虑到这，我们可能会想：那就说明最小生成树可以用动态规划来做咯？对，可以，但是它的代价是很高的。

　　我们还能发现，它还有个更强大的性质：贪心选择性质。因而可用贪心算法完成。

　　贪心算法特点：一个局部最优解也是全局最优解。

　　最小生成树的贪心选择性质：令T为图G的最小生成树，另A?V，假设边(u, v)∈E是连接着A到A的补集（也就是V-A)的最小权值边，那么(u, v)属于最小生成树。

　　证明：假设(u, v)?T， 使用剪贴法。现在对下图进行分析，图中A的点用空心点表示，V-A的点用实心点表示：

　　在T树中，考虑从u到v的一条简单路径（注意现在(u, v)不在T中），根据树的性质，它是唯一的。

　   现在把(u, v)和这条路上中的第一条连接A和V-A的边交换，即画红杠的那条边，边(u, v)是连接A和V-A的权值最小边，那我们就得到了一棵更小的树，这就与T是最小　　生成树矛盾。得证。

　　现在呢，我们来看看Prim的思想：Prim算法的特点是集合E中的边总是形成单棵树。树从任意根顶点s开始，并逐渐形成，直至该树覆盖了V中所有顶点。每次添加到树中的边都是使树的权值尽可能小的边。因而上述策略是“贪心”的。

　　算法的输入是无向连通图G=(V, E)和待生成的最小生成树的根r。在算法的执行过程中，不在树中的所有顶点都放在一个基于key域的最小优先级队列Q中。对每个顶点v来说，key[v]是所有将v与树中某一顶点相连的边中的最小权值；按规定如果不存在这样的边，则key[v]=∞。

　　实现Prim算法的伪代码如下所示：

　　MST-PRIM(G, w, r)

　　　　for each u∈V

　　　　　　do key[u] ← ∞

　　　　　　　  parent[u]← NIL

　　　　key[r] ← 0

　　　　Q ← V

　　　　while Q ≠?

　　　　　　do u ← EXTRACT-MIN(Q)

　　　　　　　　for each v∈Adj[u]

　　　　　　　　　　do if v∈Q and w(u, v) < key[v]

　　　　　　　　　　　　then parent[v] ← u

　　　　　　　　　　　　　　  key[v] ← w(u, v)

　　　　其工作流程为：

　　　　　　（1）首先进行初始化操作，将所有顶点入优先队列，队列的优先级为权值越小优先级越高

　　　　　　（2）取队列顶端的点u，找到所有与它相邻且不在树中的顶点v，如果w(u, v) < key[v]，说明这条边比之前的更优，加入到树中，即更改父节点和key值。这中间还　　　　隐含着更新Q的操作（降key值）

　　　　　　（3）重复2操作，直至队列空为止。

　　　　　　（4）最后我们就得到了两个数组，key[v]表示树中连接v顶点的最小权值边的权值，parent[v]表示v的父结点。

　　　　现在呢，我们发现一个问题，这里要用到优先队列来实现这个算法，而且每次搜索邻接表都要进行队列更新的操作。

　　　　　　不管用什么方法，总共用时为O(V*T(EXTRACTION)+E*T(DECREASE))

　　　　　　（1）如果用数组来实现，总时间复杂度为O(V2)

　　　　　　（2）如果用二叉堆来实现，总时间复杂度为O(ElogV)

　　　　　　（3）如果使用斐波那契堆，总时间复杂度为O(E+VlogV)

　　　　上面的三种方法，越往下时间复杂度越好，但是实现难度越高，而且每次对最小优先队列的更新是非常麻烦的，那么，有没有一种方法，可以不更新优先队列也达到同样的　　效果呢？

　　　　答案是：有。

　　　　其实只需要简单的操作就可以达到。首次只将根结点入队列。第一次循环，取出队列顶结点，将其退队列，之后找到队列顶的结点的所有相邻顶点，若有更新，则更新它们的key值后，再将它们压入队列。重复操作直至队列空为止。因为对树的更新是局部的，所以只需将相邻顶点key值更新即可。push操作的复杂度为O(logV)，而且省去了之前将所有顶点入队列的时间，因而总复杂度为O(ElogV)。

　　具体实现代码，优先队列可以用STL实现：

　　

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <vector>
  4 #include <queue>
  5 using namespace std;
  6 
  7 #define maxn 100  //最大顶点个数
  8 int n, m;       //顶点数，边数
  9 
 10 struct arcnode  //边结点
 11 {
 12     int vertex;     //与表头结点相邻的顶点编号
 13     int weight;     //连接两顶点的边的权值
 14     arcnode * next; //指向下一相邻接点
 15     arcnode() {}
 16     arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}
 17 };
 18 
 19 struct vernode      //顶点结点，为每一条邻接表的表头结点
 20 {
 21     int vex;    //当前定点编号
 22     arcnode * firarc;   //与该顶点相连的第一个顶点组成的边
 23 }Ver[maxn];
 24 
 25 void Init()  //建立图的邻接表需要先初始化，建立顶点结点
 26 {
 27     for(int i = 1; i <= n; i++)
 28     {
 29         Ver[i].vex = i;
 30         Ver[i].firarc = NULL;
 31     }
 32 }
 33 
 34 void Insert(int a, int b, int w)  //插入以a为起点，b为终点，权为w的边
 35 {
 36     arcnode * q = new arcnode(b, w);
 37     if(Ver[a].firarc == NULL)
 38         Ver[a].firarc = q;
 39     else
 40     {
 41         arcnode * p = Ver[a].firarc;
 42         q->next = p;
 43         Ver[a].firarc = q;
 44     }
 45 }
 46 
 47 struct node     //保存key值的结点
 48 {
 49     int v;
 50     int key;
 51     friend bool operator<(node a, node b)   //自定义优先级，key小的优先
 52     {
 53         return a.key > b.key;
 54     }
 55 };
 56 
 57 #define INF 9999    //权值上限
 58 int parent[maxn];   //每个结点的父节点
 59 bool visited[maxn]; //是否已经加入树种
 60 node vx[maxn];      //保存每个结点与其父节点连接边的权值
 61 priority_queue<node> q; //优先队列stl实现
 62 void Prim(int s)    //s表示根结点
 63 {
 64     for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化
 65     {
 66         vx[i].v = i;
 67         vx[i].key = INF;
 68         parent[i] = -1;
 69         visited[i] = false;
 70     }
 71     vx[s].key = 0;
 72     q.push(vx[s]);
 73     while(!q.empty())
 74     {
 75         node nd = q.top();  //取队首，记得赶紧pop掉
 76         visited[nd.v] = true;
 77         q.pop();
 78         arcnode * p = Ver[nd.v].firarc;
 79         while(p != NULL)    //找到所有相邻结点，若未访问，则入队列
 80         {
 81             if(!visited[p->vertex] && p->weight < vx[p->vertex].key)
 82             {
 83                 parent[p->vertex] = nd.v;
 84                 vx[p->vertex].key = p->weight;
 85                 vx[p->vertex].v = p->vertex;
 86                 q.push(vx[p->vertex]);
 87             }
 88             p = p->next;
 89         }
 90 
 91     }
 92 }
 93 
 94 int main()
 95 {
 96     int a, b ,w;
 97     cout << "输入n和m: ";
 98     cin >> n >> m;
 99     Init();
100     cout << "输入所有的边:" << endl;
101     while(m--)
102     {
103         cin >> a >> b >> w;
104         Insert(a, b, w);
105         Insert(b, a, w);
106     }
107     Prim(1);
108     cout << "输出所有结点的父结点:" << endl;
109     for(int i = 1; i <= n; i++)
110         cout << parent[i] << " ";
111     cout << endl;
112     cout << "最小生成树权值为：";
113     int cnt = 0;
114     for(int i = 1; i <= n; i++)
115         cnt += vx[i].key;
116     cout << cnt << endl;
117     return 0;
118 }
View Code

运行结果如下（基于第一个例子）：

 

望支持，谢谢。

 


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