SPFA算法

SPFA()其实是Bellman的一个小变形 

该算法常用来计算差分约束系统，因为常常有负值边存在。

为了简便，我们约定图中不存在负权回路，这可以通过一次拓扑排序知道。SPFA实际是Bellman-Ford算法的一种队列实现，用一个数组来保存最短路径的估计值，初始时将源加入队列，每次从队列中取队头元素，并对所有与其相邻的结点进行松弛操作，如果该点的估计值有所调整，且该点不在队列中，则入队，如此反复，直到队空。

定理1：SPFA算法采用的动态优化方法，能够使得路径估计值变得越来越小，优化过程是正确的。

证明：算法中每一步都是从该队取出点来优化其它各点。现假设算法结束时计算的结果不是最短路径，即从原点到某些点还存在着更短的路径，而算法规定：只要存在着比D[j]更短的路径，即D[j]>D[w]+l(w,j)，那么D[j]就一定要被优化且j点就要入队，算法就不会结束。所以上述假定不成立，算法的执行会使路径估计值变得越来越小，逼近直至达到最短路径，优化过程正确。

定理2：SPFA算法的优化过程是收敛的，不会形成无限循环，算法能够正常结束。

证明：在任意一个具有循环结构的算法或程序中，所谓不收敛就是死循环。在SPFA算法中，循环控制是由队列是否为空为条件的，若队列不为空，继续循环；若队列为空，循环终止，算法结束。在SPFA算法的循环中，既有从队列取出来进行优化的队减操作，也有被优化后的点入队的队增操作，则要注意，某任意顶点j入队是有先决条件的，亦即D[j]>D[w]+l(w,j)，j点入队的同时，D[j]也就被优化取值为较小的D[w]+l(w,j)，这样使得各点的路径值D[j]变得越来越小，直到最终优化为最短路径，此时就不会再有任何点被继续优化的可能，因而就不会再有顶点入队，仅有队减操作直到队空循环终止。

算法描述

输入设L是用来表示有向图G=(V,E)的邻接表，邻接表元素l是有向图各边的权值，输入各边的权值l(v,k)建立邻接表L.

输出设D数组是记录当前从源点到其余各点的最短路径的值，初始化时D数组的每个元素都为最大值，经过SPFA算法D数组输出各点的最短路径值。

算法的形式算法描述及注释：

1    begin      //算法开始

2    for each v in V do

             Begin

                    For each k∈L[v] do read (l(v,k)); //读入每条边的权值到邻接表

                    QM[v]=0;      //初始化每个顶点是否在队里的标志数组

                    D[v]=MAX；//将最短路径数组初始化为最大值

             End;

3          queue<-v0;

QM[v0]=1;                  //源点v0入queue队

4    D[v0]=0；                  //源点到源点本身的路径值赋值为零

5    while queue not empty do

             Begin

                    W<-queue;    //从queue中取出一个点w

                    QM[w]=0;     //w点出队后，其标志数组元素改为零，表示w点不在队列

6                                      for each j∈L[w] do

7                if D[j]>D[w]+l(w,j) then

                           begin

8                                D[j]=D[w]+l(w,j)  //判断经过w点到j点的路径是比原来的路径D[j]更短后，对j点的路径进行优化

                                  If QM[j]==0 then

                                  Begin

                                         Queue<-j;

                                         QM[j]=1;       //当j点不在队列里，j入队，并且将QM[j]标志置为1表示j已入队

                                  End

                           End

            End;

9          for each v in V do

begin

             write(D[v]);

end; //优化完成后，D数组存放的就是从源点到各点的最短路径值，可以输出结果

10   end.

定理3 对于任意的有向图G=(V,E)，设边的总数为e，顶点的总数为n，SPFA算法的时间复杂性为O(e).（！！！）

证明：SPFA算法首先进行初始化，初始化主要是读入有向图的每一条边的权值，显然需用的时间为O(e)，初始化后，SPFA算法首先将源点入队，然后从队列里取出队首的一个顶点作为w点，这里没有像Dijkstra算法那样从V-S集合中选一个具有最小D[w]的w点，所以省去了选择所花费的时间，SPFA算法的时间复杂性主要是由while循环所决定的。由于采用邻接表作为图的数据结构，第(6)句就是对一个点的表所连接的所有边进行优化，而每一个点的表长是与该点的出度有关。因为n个点的出度总和就是有向边的边数e，那么对于一个点来说，其平均出度就是e/n，所以第(6)句的执行时间平均为O(e/n)。                                                 

       设第(5)句while循环的次数为m，即为顶点入队的次数，若平均每一个点入队一次，则m=n;若平均每个点入队两次，则m=2n，算法编程后实际运行试算情况表明，m一般没有超过2n。事实上，虽然顶点入队次数m是一个事先不易分析出的数，但它确是一个随图的不同而略有不同的常数，一旦图确定，各边的权值确定，源点确定，m也就是一个确定的常数，所以SPFA算法的时间复杂性为

               T=O(m*e/n)=O(m/n*e)              令K=m/n           则          T=O(k*e)

因为K是一个常数，所以SPFA算法的时间复杂性为O(e)。（证毕）