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证明极限等于0的一类题

证明:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\qquad a>0$$

证:

方法一:构造级数$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!},$$再用比阶法证明级数收敛就可以了,此处不写详细过程.

方法二:设有数列{${{a_n}}$},且$a_n=\frac{a^n}{n!}$

所以$$a_{n+1}=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a}{n+1}a_n$$

显然,当$n$足够大时$\frac{a}{n+1}\rightarrow 0$

所以此时数列单调递减,而$a_n$明显$>0$,所以数列{${{a_n}}$}极限存在,假设为$a$

则  $$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a}{n+1}a_n$$

所以$$a=0\times a \Rightarrow a=0$$

证毕.

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