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极限证明题
证明:如果序列$x_n(n=1,2,\cdots)$收敛,则算术平均值的序列
$$\xi_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)(n=1,2,\cdots)$$
也收敛,且$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}x_n.$
证 设$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,$
则存在任意给定的$\varepsilon>0,$存在$N>0$,使得
当$n>N$时,
$$|x_n-a|<\varepsilon$$,
即 $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$.
从而当$n>N$时,
$$\xi_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N+(n-N)(a+\varepsilon)}{n}$$,
因此$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\xi_n\le a+\varepsilon$.
由$\varepsilon>0$的任意性,知 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\xi_n\le a$,
同理可证 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\ge a$.
即 $\lim\limits_{n\to\infty}\xi_n=a.$
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