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4.5 资源分配又一例——矩阵卷积与ConvolutionFilter

4.5.1 矩阵卷积的社会学原型及算法原理

      一滴墨水在宣纸上缓慢扩展，一股浓烟在空气中逐渐消散，一群土豪遭人劫富济贫，一方有难自然有八方支援。

      从自然界到人类社会，世间万物的分布都会在无外力作用，或者外力作用很弱的条件下趋于均匀，形成一种动态的平衡，生物链就是一个最常见的学术例子。

      从比较简单的烟雾弥漫效果来看，它的本质无非就是空气分子和烟雾分子相互进入的过程，最终空气和烟雾分子的密度处处相等。但这一过程并非一步到位，而是通过比较缓慢的持续行走逐步完成的，每一次分子交换主要发生在相邻位置之间，因此在两物质交界处，扩散的表现相当明显。

      从人类社会行为的角度看，这样的行为就属于资源分配与交换的范畴了，除了上面的无偿抢劫与资助以外，商品买卖也体现出了交换的特点。所以，数学家们把这种资源分配的模式也做成了数学模型。

      把图像看作一个空间，那么图像中的像素点就是组成空间的基本单位，色彩在像素之间可以相互扩散。

      如果把图像中的色彩按照位置填成表格，那么它就是一个矩阵，在这个矩阵中，每个像素都会跟与其相邻的点进行色彩交换，然后应用到自身，就好像把周围的像素都卷到自己身上进行累积，故谓之矩阵卷积。

      它其实是扩散的一种体现，只不过出于运行效率考虑，计算时用扩散的目标代替扩散的源，所以卷积可理解为周围的多个点扩散到当前点后再进行叠加的结果。

      其数学公式如下：

      它代表对当前点四周的像素以及自己进行求和，并且乘以一个系数（一般是像素数量的倒数）取其平均值，并赋到当前点上。

      这么说比较抽象，还是举例说明比较实在。

      比如矩阵的中间点11要与周围8个像素点进行矩阵卷积，那么最简单的一个效果就是每个点都取其1/9（加上自己，所以要除以9）：

      value = http://www.mamicode.com/15 * (1/9) + 33 * (1/9) + 12 * (1/9) + 37 * (1/9) + 11 * (1/9) + 16 * (1/9) + 26 * (1/9) + 38 * (1/9) + 19 * (1/9) = 23

      可以看到，经过与周边像素的卷积之后，像素间的差距变小了。图像上每个点都实施这样的变换，于是出来的效果就是使图像变模糊，形成色彩向四周扩散的画面。

      与上述像素点进行卷积运算的矩阵可以表示如下：

      您可以把两个矩阵叠放在一起，然后让矩阵中心点对齐到需要变换的点上，让重合的部分两两相乘，最后将它们的乘积相加，并把结果应用到当前需要变换的点上：

      它代表每个点都乘以1/9，并将其总和设置到中间的点上。这样做不仅容易损失精度，而且书写，运行也容易变慢，而且很多情况下，尤其是不进行像素加强减弱的情况下，我们都习惯于取平均值的方式，比如取9格的平均值就是9个数相加后再除以9：

      value = http://www.mamicode.com/(15 + 33 + 12 + 37 + 11 + 16 + 26 + 38 + 19) / 9 = 23

      于是矩阵就变成 ，可见独立的因子9被提取出来之后，矩阵看起来就清爽多了。

      可能有的人觉得，这样的模糊可能显得比较生硬，有点方了，四个角上的点不应该与上下左右一致，其距离比上下左右的要大一些，具体值为根号2，按寻路算法中的习惯，就是1.4：

      这时，9个数的总和不是9，而是11了，因此这个因子也要从9增大至11。而模糊效果将会呈现为圆形。

      同时也不难得出以下结论：中心点等于1，其它点等于0的矩阵不会对图像产生任何影响：

ActionScript3游戏中的图像编程（连载八十七）