在上一篇文章中，我们基本上证明了三素数定理，只有维诺格拉多夫定理没有被验证，也就是下面的：

“设 $\tau = N (\log N)^{-20}$，$x \geq \tau$，实数 $\alpha$ 由引理1.1给出其表达式 $\alpha = \frac{a}{q} + \beta$，易知 $1 \leq q \leq \tau \leq x$。我们有 \begin{align*}  S(x,\alpha) = \mathcal{O}\left( x \log^2 x \left( \sqrt{\frac{q}{x} + \frac{1}{q}} + \frac{1}{H} \right)  \right),   \end{align*} 其中 $H = e^{\frac{1}{2} \sqrt{\log x}}$，$S(x,\alpha) = \sum_{p \leq x} e^{2 \pi i \alpha p}$。”

本篇将专门详细证明该结论，用到的还是维氏的三角和方法。在此之前，先叙述一引理：

引理1.1. 设 $\alpha \in \mathbb{R}$，则 $\alpha$ 可表示为 \begin{align*}\alpha = \frac{h}{q} + \frac{\theta}{q^2}, ~ (q,h)=1, ~ q \geq 1, ~ |\theta| \leq 1。 \tag{1}  \end{align*}

现在给出维诺格拉多夫定理：

定理1.2. 设 $x \geq 2$，实数 $\alpha$ 由 $(1)$ 式给出且 $1 \leq q \leq x$，我们有 \begin{align*}  S(x,\alpha) = \mathcal{O}\left( x \log^2 x \left( \sqrt{\frac{q}{x} + \frac{1}{q}} + \frac{1}{H} \right)  \right), \tag{2}  \end{align*} 其中 $H = e^{\frac{1}{2}\sqrt{\log x}}$。

定理1.2的证明。。。（未完待续）

三素数定理的证明及其方法（二）