NewtonPrincipia_物体的运动_求向心力

程序和数学的一个显而易见的区别就是：
程序的每个变量必须依赖于某个具体的数，
而数学的变量我们只要知道它是一个符号就可以了；
程序中的变量必须是离散的，
而数学中的变量是以连续的可以与数轴上的点一一对应的。

下面的叙述中很少有公式，且充满了比例。
我曾经听到过一种观点，数学是交给笨的人使用的工具，
而那些聪明的人，他们可以用最原始的方法找到解决方案。
让我们看一下十七世纪的被苹果砸中的艾萨克，是怎样推导出向心力公式的。
在现在的观点看来，其中涉及到的很多没有符号表示的微分量。
下面的内容只是叙述了推倒向心力公式的内容，其它的被略过。

自然哲学的数学原理
第一卷：论物体的运动
第I部分：论用于此证明的最初比和最终比的方法

引理I：

所有的量，以及量的比在任何有限的时间总趋于零
在时间结束之前它们的它们彼此之间比任意的差更接近，最终相等。
解释：假设它们最终不想等，设最终的差为D
那么，它们就不能比给定的差D更为接近，与假设相反

引理VI

如果位置给定的任意弧ACB所对的弦AB，
且在某点A，它在连续的曲率空间，

被两个方向延伸的一条直线AD相切；
此后点A、B彼此靠近并重合，那么，角BAD，
它被包含在弦和切线之间，被减小至无穷并最终消失。
如果那个角不消失，弧ACB和切线AD所含的角等于一个A直线角，
所以曲率在点A不连续，与假设矛盾。

引理VII

在同样的假设下，弧、弦、切线彼此的最终比是等量之比。
当点B靠近点A时，总认为AB和AD延长到远处的点b和d，引bd平行于截段BD。
由引理VI，角dAb消失，所以相等。
因此总与[Ab、Ad和Acb]成比例的直线AB、AD，和居于它们中间的弧ACB消失
且它们最终具有等量之比，此即所证。

引理XI

在切点具有有限曲率的所有曲线中，切角的对边最终按照弧的对边的二次比

情形：

设AB为那条弧线，切线为AD，切角的对边BD垂直于切线，弧的对边为AB
作垂直于这个对边AB和切线AD的直线AG，BG交于G。
然后点D、B、G靠近点d、b、g，
设J为当点D、B最终到达A时直线BD、AG的交点，
显然GJ能小于任意指派的距离。
因为三角形ABD相似于三角形GAB，所以AB是BD与GA的等比中项，
因此，square(AB):square(Ab)=(AG:Ag)*(BD:bd)。
因为GJ能小于任意任意指派的距离，
所以AG:Ag能成为等量之比的差异小于任意给定的差异小于任意给定的差之比
因此，最终square(AB):square(Ab)与BD:bd的差异小于任意给定的差
根据引理I，square(AB)与square(Ab)之最终比与BD与bd的最终比相同。
即证。

第II部分：论求向心力
命题I，定理I

面积，它由在轨道上运动的物体往不动的力的中心所引的半径画出，
停留在不动的平面上，且与时间成比例

时间分为相等的段，且在第一时间段物体由于其固有的运动画出直线AB。
在第二个时间段，同一物体如果没有障碍，它将到达c点，
画出等于AB的线Bc，同一条直线上的A、B、c向中心引直线AS、BS、cS
画出的面积ASB、ASc相等。
然而，当物体到达B时，假设向心力以一次但有力的冲击，
致使物体由直线Bc倾斜并在直线BC上前进，引Cc与BS平行交BC与C，
则在第二个时间段完成，物体会在C被发现，与三角形ASB在相同的平面。
连接SC，因SB，Cc平行，面积SBC的等于面积SBc，因此也等于面积SAB
类似的论证，如果向心力相继作用在C、D、E等等，
使物体在各自的时间片段画出直线CD、DE、EF等等，它们在相同的平面。
且面积SBC、SCD、SDE、SEF彼此相等。
所以，在相等的时间，相等的面积在同一平面上被画出，
且通过复合，任意的面积在SADS、SAFS彼此之间，如同画出他们的时间
现在，三角形的数目无限增加且宽度减小至无穷，
且最终它们的周线ADF为曲线。
因此向心力：
由它物体持续从这条曲线的切线上被拉回，此作用从不间断；
且画出的任意面积SADF，SAFS总与所画的时间成比例，此即所证。

===系理2

如果AB和BC是同一个物体在无阻力空间中
在相等的时间里画出的相继的弧的弦，补足平行四边形ABCV，
则这条对角线BV当那些弧减少以至无穷所在的位置，
沿两个方向延伸，通过力的中心。

===系理3

如果弦AB、BC和DE、EF使物体在无阻力空间中
在相等的时间所画出的弧的弦，并补足平行四边形ABCV和DEFZ，
在B和E的力彼此之比，当那些弧减少至无穷时，
按照对角线BV和EZ的最终比。

===系理4

任意物体在没有阻力的空间中被拉离直线运动
并被弯折到曲线轨道的诸力相互之比，
如同在像等时间内所画出的弧矢之比。
当那些弧减小至无穷时，弧的矢汇集于力的中心，并平分弦。
这里的矢是系理3中所提到的对角线的一半。

命题IV，定理IV

诸物体以相等的运动画出不同的圆，向心力趋向于圆的中心；
且相互之间如同在同一时间内画出的弧的平方除以圆的半径。
由命题I的系理2可知这些力趋向于圆的中心；
由命题I的系理4它们彼此之间如同在极短的时间内所画出的弧的正矢。
由引理XI，如同那些弧所对应弦的平方除以圆的直径，
由引理VII，如同弧的平方除以圆的直径。
且所以，由于这些弧如同在任意的相等时间所画出的弧，
且直径如同它的半径，所以，
力如同在同一时间画出的任意弧的平方除以圆的半径。
此即所证。

===系理1

因为那些弧如同物体的速度，
向心力按照来速度的二次正比与半径的反比的复合比。

===系理2

又，因为循环时间按照半径的正比和速度的反比的复合比，
向心力按照来自半径的正比和循环时间的二次反比的复合比。

===系理3

因此，如果循环时间相等，则速度如同半径，向心力亦如同半径。反之亦然。

===系理4

且如果循环时间和速度都按照半径的二分之一次比；则向心力彼此相等；且反之亦然。

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根据系理1，可知道当速度之比按照半径的二分之一次比时，
有同样的向心力，这时计算出的循环时间
是半径的正比与速度的反比的复合比，
所以这时，循环时间按照半径的二分之一次比。

===系理5

如果循环时间如同半径，且所以速度相等；向心力与半径成反比，且反之亦然。

。。。向心力在这里就讨论完毕了。。。

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kongdongyang

2014/10/5

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