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最长子序列问题 最详细的解题报告
最长子序列之和问题
算法一：暴力法（时间复杂度：O(N^2)）
算法描述：依次求从j到i中最大的和，并将最大的和记录在maxValue中，容易理解但是效率低。
1 static int MaxSum1(int[] arr) { 2 int maxValue = http://www.mamicode.com/Integer.MIN_VALUE; 3 for (int i = 0; i < arr.length; i++) { 4 int curSum = 0; 5 for (int j = 0; j <= i; j++) { 6 curSum += arr[j]; 7 if (curSum > maxValue) { 8 maxValue =http://www.mamicode.com/ curSum; 9 }10 }11 }12 return maxValue;13 }
算法二：分治法（时间复杂度：O(NlogN)）
算法描述：将整个序列分成两部分，序列最大和有三种情况：
1、在左边子序列中；
2、在右边子序列中；
3、一部分在做序列中，另一部分在有序列中，但是该序列一定包含左子序列的最后一个元素mid，和又子序列的第一个元素mid+1。
对于第1、2中情况，直接递归就可以了；对于第3中情况，需要从左子序列的mid出发，依次递减，求得最大值midLeftSum，再从右子序列的第一个元素mid+1出发，依次递增，求得最大值midRightSum，最后要求的值为：midLeftSum+midRightSum。
整个序列的最大和为第1、2和3中情况中的最大值。
1 static int MaxSum2(int[] arr, int start, int end) { 2 int maxValue = http://www.mamicode.com/Integer.MIN_VALUE; 3 if (start == end) { 4 if (arr[start] > 0) { 5 maxValue =http://www.mamicode.com/ arr[start]; 6 } 7 } else { 8 int mid = (start + end) / 2; 9 int leftMaxValue =http://www.mamicode.com/ MaxSum2(arr, start, mid);10 int rightMaxValue = http://www.mamicode.com/MaxSum2(arr, mid + 1, end);11 12 int midLeftMaxValue = http://www.mamicode.com/0;13 int midLeftSum = 0;14 for (int i = mid; i >= 0; i--) {15 midLeftSum += arr[i];16 if (midLeftSum > midLeftMaxValue) {17 midLeftMaxValue =http://www.mamicode.com/ midLeftSum;18 }19 }20 21 int midRightMaxValue = http://www.mamicode.com/0;22 int midRightSum = 0;23 for (int i = mid + 1; i <= end; i++) {24 midRightSum += arr[i];25 if (midRightSum > midRightMaxValue) {26 midRightMaxValue =http://www.mamicode.com/ midRightSum;27 }28 }29 maxValue = http://www.mamicode.com/Math.max(leftMaxValue, Math.max(rightMaxValue, midLeftMaxValue + midRightMaxValue));30 }31 return maxValue;32 }
算法三：动态规划（时间复杂度：O(N)）
算法描述：首先我们想一下，要想为最大子序列之和做贡献，该元素一定要大于0，所以如果第i个子序列之前的子序列之和小于0，就应该舍去。（我当时理解了很长时间才理解清楚）
1 static int MaxSum3(int[] arr) { 2 int maxValue =http://www.mamicode.com/ Integer.MIN_VALUE; 3 int curSum = 0; 4 for (int i = 0; i < arr.length; i++) { 5 curSum+=arr[i]; 6 if (curSum > maxValue) { 7 maxValue =http://www.mamicode.com/ curSum; 8 } 9 if(curSum<0){ //第i以前的子序列为做出贡献，小于0，应该舍去10 curSum=0;11 }12 }13 return maxValue;14 }
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