一、实验目的：

熟悉掌握动态规划法设计技术

二、实验要求：

1、按教材所授内容要求，完成“最长公共子序列问题”算法。得到一个完整正确的程序。

2、问题规模：不少于100

3、输出最终结果。

三、实验设备：

PC机一台

Vc++6.0编译软件一套

四、问题描述：

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。 

例如：“ABCBDAB” 和 “BDCABA”  的最长公共子序列为: BCBA 

  或者“ABHC898987fjgij”和“ABCIEJGF89895f55fg”的公共子序列为:ABC8989fg

五、算法分析：

设定有两个序列，分别是X（m）和Y（n），即是M个元素的X序列和有N个元素的Y序列，设序列X={x1,x2,x3,....xm}和Y={y1,y2,y3.....yn}的最长公共子序列Z={z1,z2,z3....zk};那么根据动态规划求最优解原理，有：

(1) 若xm=yn,则zk=xm=yn,且Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的最长公共子序列。

(2) 若xm!=yn,且zk！=xm，则Z是X(m-1)和Y的最长公共子序列。

(3) 若xm！=yn，且zk！=yn，则Z是X和Y(n-1)的最长公共子序列。

其中，X(m-1)={x1，x2，x3......x(m-1)};Y(n-1)={y1,y2,y3......y(n-1)};

Z(k-1)={z1,z2,z3.......z(k-1)}。

证明：（1）反证法。若zk！=xm，则{z1,z2,z3...zk,zm}是X和Y的长度为k+1的公共子序列。这与Z是X和Y的最长公共子序列矛盾。因此，必有zk=xm=yn.由此可知Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的长度为k-1的公共子序列。若X(m-1)和Y(n-1)有长度大于k-1的公共子序列W，则将Xm加在其尾部产生X和Y的长度大于k的公共子序列。此为矛盾。故Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的最长公共子序列。

(2)由于zk！=xm，Z是X(m-1)和Y的公共子序列。若X(m-1)和Y有长度大于k的公共子序列W，则W也是X和Y的长度大于k的公共子序列。这与Z是X和Y的最长子序列矛盾。由此可知，Z是X(m-1)和Y的最长公共子序列。

(3)本实验采用随机生成【0-9】【A-Z】【a-z】之间的数字和字母和手动输入字符串X(M)和Y(N)两种方式求得最长子序列的解。

用到的函数有：

void InputLCS(char *x,char *y,int B[][N+1]).通过手动输入求解函数。

void RandLCS(const int m,const int n,char *x,char *y,int B[][N+1]).通过随机生成字符串求解。

void LCSLength(int m,int n,char x[M+1],char y[N+1],int b[M+1][N+1]),

void LCS(int i,int j,char x[M+1],int b[M+1][N+1])。此两个函数式求解关键函数，前者求出最优解并将子序列长度存放在局部变量c[m][n]中并显示出来，后者将最长子序列以字符串的形式显示在屏幕上。

void printRand(char x[],const m)。是随机生成字符串并输出的函数，是随机生成字符串方式的重要函数。

六、代码：

#include <stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<time.h>

#include<string.h>

#define M 150

#define N 150

void LCSLength(int m,int n,char x[M+1],char y[N+1],int b[M+1][N+1]);

void LCS(int i,int j,char x[M+1],int b[M+1][N+1]);

void printRand(char x[],const m);

void InputLCS(char *x,char *y,int B[][N+1]);

void RandLCS(const int m,const int n,char *x,char *y,int B[][N+1]);

void main(){

int choose; 

char X[M+1],Y[N+1]; 

int B[M+1][N+1];

printf("---------请选择求最长子序列方式----------\n");

printf("---------------1.手动输入----------------\n");

printf("---------------2.随机生成----------------\n");

printf("---------------0.退出--------------------\n");

scanf("%d",&choose);

switch(choose)

{

case 1:

InputLCS(X,Y,B);

break;

case 2:

RandLCS(M,N,X,Y,B);

break;

case 0:

exit(0);

}

printf("\n");

}

//生成随机数并显示出来,随机生成部分

void printRand(char x[],const int m)

{

for(int i=0;i<m;i++)

{

x[i]=(rand()%75+48);//0-9(48-57),A-Z(65-90),a-z(97-122)

//若在数字与大写字母之间则+7得到大写字母

if(x[i]>57&&x[i]<65)x[i]=x[i]+7;

//若在大小写字母之间则+6得到小写字母

else if(x[i]>90&&x[i]<97)x[i]=x[i]+6;

printf("%c",x[i]);

}

}

//处理随机生成方式求最长子序列

void RandLCS(const int m,const int n,char *x,char *y,int B[][N+1])

{

srand(time(NULL));

printf("生成字符串a(长度%d)：\n",m);

printRand(x,m);

printf("\n生成字符串b(长度%d)：\n",n);

printRand(y,n);

LCSLength(M,N,x,y,B); 

printf("\n公共子序列结果：");

LCS(M,N,x,B);

}

//处理手动输入方式求最长子序列

void InputLCS(char *x,char *y,int B[][N+1])

{

int lx,ly;

printf("输入字符串a：\n");

scanf("%s",x+1); 

printf("输入字符串b：\n");

scanf("%s",y+1); 

lx=strlen(x+1); 

ly=strlen(y+1); 

printf("\n字符串a长度la=%d; 字符串b长度lyb=%d",lx,ly);

LCSLength(lx,ly,x,y,B); 

printf("\n公共子序列结果：");

LCS(lx,ly,x,B);

}

//求出子序列的最优解存放在c[m][n]中

void LCSLength(int m,int n,char x[],char y[],int b[M+1][N+1])

{ 

int i,j; 

int c[M+1][N+1]; 

for (i=1;i<=m;i++) 

c[i][0]=0; 

for (i=1;i<=n;i++) 

c[0][i]=0; 

for (i=1;i<=m;i++) 

for (j=1;j<=n;j++) 

{ 

if (x[i]==y[j]) 

{ 

c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; 

b[i][j]=1; 

} 

else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) 

{ 

c[i][j]=c[i-1][j]; 

b[i][j]=2; 

} 

else 

{ 

c[i][j]=c[i][j-1]; 

b[i][j]=3; 

} 

}

printf("\n公共子序列长度length:%d",c[m][n]);

}

//输出最长子序列的结果

void LCS(int i,int j,char x[],int b[M+1][N+1])

{ 

if (i==0 || j==0) 

return; 

if (b[i][j]==1) 

{ 

LCS(i-1,j-1,x,b); 

printf("%c",x[i]); 

} 

else if(b[i][j]==2) 

LCS(i-1,j,x,b); 

else LCS(i,j-1,x,b);

}

七、调试及运行：

1.手动输入字符串运行结果：

2.自动生成字符串方式，其中生成50个元素效果如下：

3.和结果2相似，生成元素为100个：

4.生成元素个数为150时，效果如下：