所谓闭合子图就是给定一个有向图，从中选择一些点组成一个点集V。对于V中任意一个点，其后续节点都仍然在V中。比如：

在这个图中有8个闭合子图：?,{3},{4},{2,4},{3,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}

小Ho：闭合子图我懂了，但是这跟我们这次的问题有啥关系呢？

小Hi：我们先把这次的问题转化为2分图。将N个活动看作A部，将M个学生看作B部。若第i个活动需要第j个学生，就连一条从A[i]到B[j]的有向边。比如对于例子：

假如选择A[1]，则我们需要同时选择B[1],B[2]。那么选择什么活动和其需要的学生，是不是就刚好对应了这个图中的一个闭合子图呢？

如果把活跃值算作权值，A部的节点包含有正的权值，B部的节点是负的权值。那么我们要求的也就是一个权值最大的闭合子图了？我们要求解的正是最大权闭合子图。它的求解方法是使用网络流，因此我们需要将这个图再进一步转化为网络流图。

对于一般的图来说：首先建立源点s和汇点t，将源点s与所有权值为正的点相连，容量为权值；将所有权值为负的点与汇点t相连，容量为权值的绝对值；权值为0的点不做处理；同时将原来的边容量设置为无穷大。举个例子：

对于我们题目中的例子来说，其转化的网络流图为：

上图中黑边表示容量无穷大的边。

最大权闭合子图的权值等于所有正权点之和减去最小割。

接下来来证明这个结论，首先我们要证明两个引理：

1. 最小割一定是简单割

简单割指得是：割(S,T)中每一条割边都与s或者t关联，这样的割叫做简单割。

因为在图中将所有与s相连的点放入割集就可以得到一个割，且这个割不为正无穷。而最小割一定小于等于这个割，所以最小割一定不包含无穷大的边。因此最小割一定一个简单割。

2. 简单割一定和一个闭合子图对应

闭合子图V和源点s构成S集，其余点和汇点t构成T集。

首先证明闭合子图是简单割：若闭合子图对应的割(S,T)不是简单割，则存在一条边(u,v)，u∈S，v∈T，且c(u,v)=∞。说明u的后续节点v不在S中，产生矛盾。

接着证明简单割是闭合子图：对于V中任意一个点u，u∈S。u的任意一条出边c(u,v)=∞，不会在简单割的割边集中，因此v不属于T，v∈S。所以V的所有点均在S中，因此S-s是闭合子图。

由上面两个引理可以知道，最小割也对应了一个闭合子图，接下来证明最小割就是最大权的闭合子图。

首先有割的容量C(S,T)=T中所有正权点的权值之和+S中所有负权点的权值绝对值之和。

闭合子图的权值W=S中所有正权点的权值之和-S中所有负权点的权值绝对值之和。

则有C(S,T)+W=T中所有正权点的权值之和+S中所有正权点的权值之和=所有正权点的权值之和。

所以W=所有正权点的权值之和-C(S,T)

由于所有正权点的权值之和是一个定值，那么割的容量越小，W也就越大。因此当C(S,T)取最小割时，W也就达到了最大权。

最大权闭合子图