在计算最短路径之前，往往会先计算最短路径树，也就是计算从一个顶点出发，到其余所有顶点的最短距离。

有了最短路径树之后，路径和距离就非常容易实现了：

public double distTo(int v) {
    return distTo[v];
}
 
public Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v) {
    Stack<DirectedEdge> result = new Stack<DirectedEdge>();
    DirectedEdge edge = edgeTo[v];
    while (edge != null) {
        result.add(edge);
        edge = edgeTo[edge.from()];
    }
    return result;
}

“放松”操作

在最短路径算法中需要一种操作，这种操作称之为“放松”操作，目标就是让权重更小的边替代当前已知的最小边。它的代码实现如下：

private void relax(DirectedEdge edge) {
    int v = edge.from();
    int w = edge.to();
    if(distTo[w] > distTo[v] + edge.weight()) {
        distTo[w] = distTo[v] + edge.weight();
        edgeTo[w] = edge;
    }
}

实现方法

最基本的实现方法就是“放松”所有的边，得到一个最短路径树。

那么按照哪种顺序放松所有的边呢？这里有这些方法：

• Dijkstra算法，适合非负权图

• 拓扑排序算法，适合无环图

• Bennman-Form算法，适合无负环图