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图基本算法 图的表示方法 邻接矩阵 邻接表

2024-07-02 05:29:42   226人阅读

　　

　　要表示一个图G=(V,E)，有两种标准的表示方法，即邻接表和邻接矩阵。这两种表示法既可用于有向图，也可用于无向图。通常采用邻接表表示法，因为用这种方法表示稀疏图（图中边数远小于点个数）比较紧凑。但当遇到稠密图（|E|接近于|V|^2）或必须很快判别两个给定顶点手否存在连接边时，通常采用邻接矩阵表示法，例如求最短路径算法中，就采用邻接矩阵表示。

　　图G=<V，E>的邻接表表示是由一个包含|V|个列表的数组Adj所组成，其中每个列表对应于V中的一个顶点。对于每一个u∈V，邻接表Adj[u]包含所有满足条件（u，v）∈E的顶点v。亦即，Adj[u]包含图G中所有和顶点u相邻的顶点。每个邻接表中的顶点一般以任意顺序存储。

　　如果G是一个有向图，则所有邻接表的长度之和为|E|，这是因为一条形如（u，v）的边是通过让v出现在Adj[u]中来表示的。如果G是一个无向图，则所有邻接表的长度之和为2|E|，因为如果（u，v）是一条无向边，那么u会出现在v的邻接表中，反之亦然。邻接表需要的存储空间为O（V+E）。

　　邻接表稍作变动，即可用来表示加权图，即每条边都有着相应权值的图，权值通常由加权函数w：E→R给出。例如，设G=<V，E>是一个加权函数为w的加权图。对每一条边（u，v)∈E，权值w（u，v）和顶点v一起存储在u的邻接表中。

邻接表C++实现：

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 using namespace std;
  4 
  5 #define maxn 100  //最大顶点个数
  6 int n, m;       //顶点数，边数
  7 
  8 struct arcnode  //边结点
  9 {
 10     int vertex;     //与表头结点相邻的顶点编号
 11     int weight = 0;     //连接两顶点的边的权值
 12     arcnode * next; //指向下一相邻接点
 13     arcnode() {}
 14     arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}
 15     arcnode(int v):vertex(v),next(NULL) {}
 16 };
 17 
 18 struct vernode      //顶点结点，为每一条邻接表的表头结点
 19 {
 20     int vex;    //当前定点编号
 21     arcnode * firarc;   //与该顶点相连的第一个顶点组成的边
 22 }Ver[maxn];
 23 
 24 void Init()  //建立图的邻接表需要先初始化，建立顶点结点
 25 {
 26     for(int i = 1; i <= n; i++)
 27     {
 28         Ver[i].vex = i;
 29         Ver[i].firarc = NULL;
 30     }
 31 }
 32 
 33 void Insert(int a, int b, int w)  //插入以a为起点，b为终点，权为w的边
 34 {
 35     arcnode * q = new arcnode(b, w);
 36     if(Ver[a].firarc == NULL)
 37         Ver[a].firarc = q;
 38     else
 39     {
 40         arcnode * p = Ver[a].firarc;
 41         while(p->next != NULL)
 42             p = p->next;
 43         p->next = q;
 44     }
 45 }
 46 
 47 void Insert(int a, int b)   //插入以a为起点，b为终点，无权的边
 48 {
 49     arcnode * q = new arcnode(b);
 50     if(Ver[a].firarc == NULL)
 51         Ver[a].firarc = q;
 52     else
 53     {
 54         arcnode * p = Ver[a].firarc;
 55         while(p->next != NULL)
 56             p = p->next;
 57         p->next = q;
 58     }
 59 }
 60 
 61 void Delete(int a, int b)   //删除以a为起点，b为终点的边
 62 {
 63     arcnode * p = Ver[a].firarc;
 64     if(p->vertex == b)
 65     {
 66         Ver[a].firarc = p->next;
 67         delete p;
 68         return ;
 69     }
 70     while(p->next != NULL)
 71         if(p->next->vertex == b)
 72         {
 73             p->next = p->next->next;
 74             delete p->next;
 75             return ;
 76         }
 77 }
 78 
 79 void Show()     //打印图的邻接表（有权值）
 80 {
 81     for(int i = 1; i <= n; i++)
 82     {
 83         cout << Ver[i].vex;
 84         arcnode * p = Ver[i].firarc;
 85         while(p != NULL)
 86         {
 87             cout << "->(" << p->vertex << "," << p->weight << ")";
 88             p = p->next;
 89         }
 90         cout << "->NULL" << endl;
 91     }
 92 }
 93 
 94 void Show2()     //打印图的邻接表(无权值）
 95 {
 96     for(int i = 1; i <= n; i++)
 97     {
 98         cout << Ver[i].vex;
 99         arcnode * p = Ver[i].firarc;
100         while(p != NULL)
101         {
102             cout << "->" << p->vertex;
103             p = p->next;
104         }
105         cout << "->NULL" << endl;
106     }
107 }
108 int main()
109 {
110     int a, b, w;
111     cout << "Enter n and m：";
112     cin >> n >> m;
113     Init();
114     while(m--)
115     {
116         cin >> a >> b;       //输入起点、终点
117         Insert(a, b);        //插入操作
118         Insert(b, a);        //如果是无向图还需要反向插入
119     }
120     Show2();
121     cout << "Delete an edge:";
122     cin >> a >> b;
123     Delete(a, b);
124     Delete(b, a);
125     Show2();
126     return 0;
127 }
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　　邻接表表示法也有潜在的不足之处，即如果要确定图中边（u,v）是否存在，只能在顶点u邻接表Adj[u]中搜索v，除此之外没有其他更快的办法。这一不足可通过图的邻接矩阵表示法来弥补，但要（在渐进意义下）以占用更多的存储空间为代价。

　　在图G=(V,E)的临界矩阵表示法中，假定各顶点按某种任意的方式编号为1,2,···，|V|，那么G的邻接矩阵为一个|V|*|V|的矩阵A=(a[i][j])，它满足：

　　观察无向图的邻接矩阵会发现，它是沿主对角线对称的。在一个无向图中，（u,v）和（v,u）表示同一条边，故无向图的邻接矩阵A的转置矩阵就是它本真。在某些应用中，可以只存储邻接矩阵的对角线以及对角线以上的部分，这样一来，图所占用的存储空间几乎可以减少一半。

　　邻接矩阵也可以用来表示加权图。例如，如果G=<V，E>是一个加权图，其权值函数为w，对于边（u，v）∈E，其权值w（u，v）就可以简单地存储在邻接矩阵的第u行第v列的元素中。如果边不存在，则可以在矩阵的相应元素中存一个NIL值，在很多问题中，对这样的元素赋0或∞会更为方便些。

邻接矩阵C++实现：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 #define maxn 100
 6 #define INF 1xffffff    //预定于的最大值
 7 int n, m;   //顶点数、边数
 8 int g[maxn][maxn];      //邻接矩阵表示
 9 
10 void Init()
11 {
12     for(int i = 1; i <= n; i++)
13         for(int j = 1; j <= n; j++)
14         g[i][j] = 0;    //讲所有顶点度数置零，若为带权图，则置为INF
15 }
16 void Show() //打印邻接矩阵
17 {
18     for(int i = 1; i <= n; i++)
19     {
20         for(int j = 1; j <= n; j++)
21             cout << g[i][j] << " ";
22         cout << endl;
23     }
24 }
25 int main()
26 {
27     int a, b;
28     cout << "Enter n and m:";
29     cin >> n >> m;
30     while(m--)
31     {
32         cin >> a >> b;  //输入为边的始点、终点，若有权，还需输入权w
33         g[a][b] = 1;    //a、b间存在边，将g[a][b]置1，若有权，则将其置为权值
34         g[b][a] = 1;    //对于无向图，还要插入边(b，a）
35     }
36     Show();
37     return 0;
38 }
View Code

（文章以及相关代码参考算法导论编写）


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