算法一

任何>1的整数都可以写成一个或多个素数因子乘积的形式，且素数乘积因子以非递减序出现。

则整数x,y可以分别标记为：
x=p1^x1p2^x2...pm^xm

y=p1^y1p2^y2...pm^ym

（其中p1,p2,....是素数，若有必要素数因子的指数xj或yj可以为0）

（1）最大公约数 gcd(x,y)=p1^min(x1,y1)p2^min(x2,y2)...pm^min(xm,ym)

（2）最小公倍数 lcm(x,y)=p1^max(x1,y1)p2^max(x2,y2)...pm^max(xm,ym)

（3）因此，亦可得：lcm(x,y)*gcd(x,y)=x*y

按如上思路计算gcd(x,y)至少需要如下两步

step1： decompose_to_primes(int n);//把整数n分解成素数相乘的形式

step2：get_gcd(int x,int y);//根据step1的结果按照公式（1）计算gcd(x,y)

分明显计算量比较大。

实际上从编程的角度来看，在x,y的数值不是很大的情况下。若是单纯的计算最大公约数和最小公倍数可以不必这么复杂，可以从大到小遍历min(x,y)的约数，找到的第一个公约数即为所求。

int get_gcd(int x,int y)
{
    int temp;
    int i;
    if(x>y)
    {
        temp=x;
        x=y;
        y=temp;
    }
    if(y%x==0)
        return x;
    for(i=x/2;i>1;i--)
        if(x%i==0)
            if(y%i==0)
                return i;    
    return 1;
}
int get_lcm(int x,int y)
{
 return (x*y)/(get_gcd(x,y));
}

算法二

用Euclid算法（即辗转相除法）

step1、令r为a/b所得余数（0≤r<b）。若 r= 0，算法结束，则b 即为所求，否则执行step2。

int gcd(int x,int y)//Euclid method
{
    int r;
    if(x<y)
    {
        r=x;
        x=y;
        y=r;
    }
    r=x%y;
    while(r)
    {
        x=y;
        y=r;
        r=x%y;
    }
        return y;
}

计算两个整数的最大公约数和最小公倍数