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《数据结构与算法分析：C语言描述》复习——第十章“算法设计技巧”——跳表
2014.07.07 22:03
简介：
跳表（skip list）是一种随机化的有序数据结构。从形状上来看，长得比较像分层索引。能够在接近对数级别的时间内完成增、删、改、查操作。
你姑且可以认为这种数据结构的用途、用法都和平衡树很相似，但内部的实现原理则完全不同。
图示：
下面是一条有序的单链表：
如果你要查找某一个整数，必然需要O(n)级别的时间去搜索链表。
但如果从这个链表抽取几个元素，然后在上面加上一层呢，比如这样：
上面的双层链表的上层是通过从下层抽取一部分元素得到的。并且上下之间也存在指针链接，允许由上至下、由左至右的遍历。
这么做有什么用呢？我们先继续看看这个：
我们可以像这样，从每一层选出部分元素，在正上方组成新的一层，这样就能够形成一个看起来不整齐的多层链表。
这个图形很不规则，我们来考虑一个规则的情况：如果这个多层链表恰好有5层，每层元素个数分别为1,2,4,8,16。那么查找任意一个元素是不是能够在对数时间内完成呢？
答案当然是可以。因为多层索引的代表结构——B+树就是这种形状规则而且有序的分层结构。稳定的对数级别的操作时间就是它们的最大优势。
跳表使用另一种思维方式来构造一个类似的分层结构，但是因为包含了随机数而导致形状没那么“规则”，所以效率接近对数级别，但不稳定。
刚才我们的描述方式是一层一层地构建了这个多层链表，而正确的理解方式应该是——一个一个地插入节点。关键在于每个插入的节点有可能只插入一层，也有可能插入多层。
下面是一个空的跳表：
其中begin表示一个实际的节点，尽管其中的数据没有意义，我们需要它的指针进行移动。end则可以用空指针NULL来代表，表示链表尾。
下面如果我们要插入一个整数34，并且插入的高度是3层，结果将是这样：
如此一来有了3个34。接下来我们再插入5，插入1层：
那么插入的规则是怎么定的呢？比如将元素x插入到第k层？
如果我们将最底层定义为1层，那么x元素将被插入到1~k的所有层中。
当你从跳表的左端顶部的begin节点出发时，在每一层你都只能至多向右或向下走一步。
由于每一层的链表都是有序的，所以插入元素时每一层的操作就和有序单链表的操作一样了。
于是我们从第k层开始插入，完成后下降到k-1层，逐层插入直到最底层。
下面我们再插入元素7，高度为2：
那么，每个元素插入的高度怎么决定呢？随机定就行了。此处“随机”的方法，指的是抛硬币。
如果每次有50%的概率抛出正面，那么我们就一直抛硬币，抛出正面为止，看看到底要抛多少次。将抛硬币的次数作为高度（至少抛一次，所以高度至少为1）。
这样的随机方法严格服从于p=0.5的几何分布。因此期望高度为2，虽然偶尔也能出现很高的层数。
那么，这种多层的结构并不是严格的二分查找，为何它的基本操作的效率接近对数级呢？
1. 越是在高层，移动一步就能跨过越多的元素，步子越大速度越快
2. 分析一下几何分布的分布列，此处从概率上是符合二分规律的，因此“接近对数”是有理论支持的
教材上对于跳表的评价是：一种平衡树的替代品，实现简便，效率不错。
亲自实现之后，发现跳表虽然也没那么简单，但的确比AVL树简单多了。也许我们基本不需要亲自写这些结构，但至少应该了解这种随机化的数据结构为何如此巧妙。
在我的印象里，这本书的第十章尽管充满了精华知识，在我大二的数据结构课程里，老师却几乎只字未提。
就我们学校而言，计算机教育实在是囫囵吞枣。课程好几十门，没有一门深入过。难怪我现在复习这本教材几乎等于重新学习。
呵呵的是教育，惭愧的是自己。你区区一个本科生，既然什么都不会就别拽了。赶紧学习吧。
（跳表还可以进一步优化为确定性跳表，不过那部分我已经无力研究了，饶了我吧）
实现：
1 // My implementation for skip list. 2 #include <cstdlib> 3 #include <ctime> 4 #include <iostream> 5 #include <string> 6 using namespace std; 7 8 template <class TKey> 9 struct ListNode { 10 TKey *key; 11 ListNode *down; 12 ListNode *next; 13 14 ListNode(): key(nullptr), down(nullptr), next(nullptr) {} 15 }; 16 17 template <class TKey> 18 class SkipList { 19 public: 20 SkipList() { 21 m_root = new ListNode<TKey>(); 22 m_size = 0; 23 m_level = 0; 24 } 25 26 bool contains(const TKey &key) { 27 if (m_size == 0) { 28 return false; 29 } 30 31 ListNode<TKey> *ptr = m_root; 32 while (true) { 33 if (ptr->next != nullptr) { 34 if (key < *(ptr->next->key)) { 35 if (ptr->down != nullptr) { 36 ptr = ptr->down; 37 } else { 38 return false; 39 } 40 } else if (key > *(ptr->next->key)) { 41 ptr = ptr->next; 42 } else { 43 return true; 44 } 45 } else { 46 if (ptr->down != nullptr) { 47 ptr = ptr->down; 48 } else { 49 return false; 50 } 51 } 52 } 53 } 54 55 void insert(const TKey &key) { 56 if (contains(key)) { 57 return; 58 } 59 60 ListNode<TKey> *ptr; 61 int new_level = _randomLevel(); 62 63 if (new_level > m_level) { 64 // Extra levels need to be added. 65 for (int i = m_level; i < new_level; ++i) { 66 ptr = new ListNode<TKey>(); 67 ptr->down = m_root; 68 m_root = ptr; 69 } 70 m_level = new_level; 71 } 72 73 int lvl = m_level; 74 ListNode<TKey> *last, *cur; 75 76 ptr = m_root; 77 last = cur = nullptr; 78 while (true) { 79 if (ptr->next != nullptr) { 80 if (key < *(ptr->next->key)) { 81 if (lvl <= new_level) { 82 cur = new ListNode<TKey>(); 83 if (last == nullptr) { 84 cur->key = new TKey(key); 85 } else { 86 cur->key = last->key; 87 last->down = cur; 88 } 89 last = cur; 90 cur->next = ptr->next; 91 ptr->next = cur; 92 } 93 94 if (ptr->down != nullptr) { 95 ptr = ptr->down; 96 --lvl; 97 } else { 98 break; 99 }100 } else if (key > *(ptr->next->key)) {101 ptr = ptr->next;102 } else {103 break;104 }105 } else {106 if (lvl <= new_level) {107 cur = new ListNode<TKey>();108 if (last == nullptr) {109 cur->key = new TKey(key);110 } else {111 cur->key = last->key;112 last->down = cur;113 }114 last = cur;115 cur->next = ptr->next;116 ptr->next = cur;117 }118 119 if (ptr->down != nullptr) {120 ptr = ptr->down;121 --lvl;122 } else {123 break;124 }125 }126 }127 ++m_size;128 }129 130 void erase(const TKey &key) {131 if (!contains(key)) {132 return;133 }134 135 ListNode<TKey> *ptr = m_root;136 ListNode<TKey> *cur;137 while (true) {138 if (ptr->next != nullptr) {139 if (key < *(ptr->next->key)) {140 if (ptr->down != nullptr) {141 ptr = ptr->down;142 } else {143 break;144 }145 } else if (key > *(ptr->next->key)) {146 ptr = ptr->next;147 } else {148 cur = ptr->next;149 ptr->next = cur->next;150 if (ptr->down != nullptr) {151 delete cur;152 ptr = ptr->down;153 } else {154 delete cur->key;155 delete cur;156 break;157 }158 }159 } else {160 if (ptr->down != nullptr) {161 ptr = ptr->down;162 } else {163 break;164 }165 }166 }167 --m_size;168 169 ptr = m_root;170 while (ptr->next == nullptr) {171 // Empty levels are removed.172 if (ptr->down == nullptr) {173 break;174 } else {175 m_root = m_root->down;176 delete ptr;177 ptr = m_root;178 --m_level;179 }180 }181 }182 183 size_t size() {184 return m_size;185 }186 187 void clear() {188 _clearUp();189 190 m_root = new ListNode<TKey>();191 m_size = 0;192 m_level = 0;193 }194 195 void debugPrint() {196 ListNode<TKey> *p1, *p2;197 198 cout << ‘{‘ << endl;199 p1 = m_root;200 while (p1 != nullptr) {201 p2 = p1->next;202 cout << " ";203 while (p2 != nullptr) {204 cout << *(p2->key) << ‘ ‘;205 p2 = p2->next;206 }207 cout << endl;208 p1 = p1->down;209 }210 cout << ‘}‘ << endl;211 }212 213 ~SkipList() {214 _clearUp();215 }216 private:217 int m_level;218 int m_size;219 ListNode<TKey> *m_root;220 221 void _clearUp() {222 ListNode<TKey> *head = m_root;223 ListNode<TKey> *p1, *p2;224 225 while (head != nullptr) {226 p1 = head;227 head = head->down;228 while (p1 != nullptr) {229 p2 = p1->next;230 if (p1->key != nullptr && p1->down == nullptr) {231 delete p1->key;232 }233 delete p1;234 p1 = p2;235 }236 }237 }238 239 int _randomLevel() {240 int level = 0;241 242 while (rand() & 1) {243 ++level;244 }245 246 return level;247 }248 };249 250 int main()251 {252 srand((unsigned int)time(nullptr));253 string s;254 SkipList<int> sl;255 int key;256 257 while (cin >> s) {258 if (s == "i") {259 cin >> key;260 sl.insert(key);261 } else if (s == "c") {262 cin >> key;263 cout << (sl.contains(key) ? "Yes" : "No") << endl;264 } else if (s == "e") {265 cin >> key;266 sl.erase(key);267 } else if (s == "cl") {268 sl.clear();269 }270 sl.debugPrint();271 }272 sl.clear();273 274 return 0;275 }