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bzoj 1076: [SCOI2008] 奖励关 题解

2024-07-07 17:42:51   227人阅读

【原题】

1076: [SCOI2008]奖励关

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 684  Solved: 403
[Submit][Status]

Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

Sample Output

1.500000

HINT

【样例2】 Input 6 6 12 2 3 4 5 0 15 5 0 -2 2 4 5 0 -11 2 5 0 5 0 1 2 4 5 0 Output 10.023470 【数据规模】 1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。


【分析】对于刚学了期望的我，一开始就做这种神题真的有点吃不消。但是还是很认真的在啃。首先回顾一下期望。设前面的点的期望是S，前面的点到当前点的概率是P，当前点的获得价值是L。那么当前点的期望就是S‘=S1*P1+ S2*P2+...+SN*PN + L。对于这道题，我很自然的想到了方程f[i][j]表示到第i次，选了j这种状态（状压）的期望。

【初次代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 16
#define K 105
#define S 1<<N
using namespace std;
int m,n,x,num[N],i,j,status,next,prep[N][N];
bool flag[S];
double v[N],f[K][S],ans;
const double eps=1e-6;
inline bool check(int status)
{
  for (int i=1;i<=n;i++)
    if ((1<<(i-1))&status)
    {
      for (int j=1;j<=num[i];j++)
        if ((1<<(prep[i][j]-1))&status==0) return 0;
    }
  return 1;
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&m,&n);
  for (i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%lf",&v[i]);
    for (scanf("%d",&x);x;scanf("%d",&x))
      prep[i][++num[i]]=x;
  }
  for (status=0;status<(1<<n);status++) flag[status]=check(status);
  for (i=0;i<=m;i++) 
    for (status=0;status<(1<<n);status++) 
      f[i][status]=-1.0;
  f[0][0]=0.0;
  for (i=0;i<m;i++)
    for (status=0;status<(1<<n);status++)
      if (f[i][status]+eps>=0)
        for (j=1;j<=n;j++)
        {
          next=(status&(1<<(j-1)))?status:status|(1<<(j-1));
          if (!flag[next]) continue;
          if (f[i+1][next]+eps<0) f[i+1][next]=v[j];
          f[i+1][next]+=1.0/n*f[i][status];
        }
  return 0;
}

有两个很关键的问题：

①不知道该输出什么？并不是每种状态加起来去平均，因为每种状态可能到达的概率不同。于是就很麻烦。

②题目要求的是执行最优策略，那么如何操作才能表示是在“随机状态下的最优策略”还是在“随机状态下的平均策略”？再三思考未果，决定还是ORZ题解。

原来题解是倒着算的，这样就不用担心输出什么了；至于最优操作，我们只要考虑到负数，因此如果转移过来是负数的话，我就不转移（宁可是0分）

【代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 21
#define K 105
#define S 1<<16
using namespace std;
double F[K][S],v[N];
int n,k,x,P[N],num[N],i,j,status,prep[N][N];
bool flag[S][N];
int main()
{
    for (i=1;i<=20;i++) P[i]=1<<(i-1);
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%lf",&v[i]);
      for (scanf("%d",&x);x;scanf("%d",&x))
        prep[i][++num[i]]=x;
    }
    for (status=0;status<P[n+1];status++)
      for (i=1;i<=n;i++)
      {
        flag[status][i]=1;
        for (j=1;j<=num[i];j++)
          if ((P[prep[i][j]]&status)==0) {flag[status][i]=0;break;}
      }
    for (i=k;i;i--)
      for (status=0;status<P[n+1];status++)
      {
        F[i][status]=0;
        for (j=1;j<=n;j++)
          if (flag[status][j])
            F[i][status]+=max(F[i+1][status],F[i+1][status|P[j]]+v[j]);
          else F[i][status]+=F[i+1][status];
        F[i][status]/=double(n);
      }
    printf("%.6lf\n",F[1][0]);
    return 0;
}


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