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积分与路径无关条件,柯西定理

在复积分中,积分与路径无关条件和柯西定理有着相似的描述,但又存在区别:

积分与路径无关条件要求在区域中存在原函数,但不要求单连通区域;

柯西定理不要求在区域中存在原函数,但要求环线围成区域单连通。

以∫[1/(z-z0)n]dz为例子:

若积分区域包含z0

    当n≥0时,被积式子存在原函数且区域单连通,路径无关条件和柯西定理均可用;

    当n=-1时,被积函数在区域内无原函数(被log分支线切割),且区域非单连通(去除z=z0),所以积分值不为0;

    当n<-1时,被积函数在除z=z0区域内有原函数,即区域非单连通,所以不能应用柯西定理,但能应用路径无关条件;

若积分区域不包含z0且n=-1:

    被积函数在区域内无原函数(被log分支线切割),所以不能应用路径无关条件,但能应用柯西定理。