一、问题提出

     在一个由n个数字组成的数字串中插入r个乘号（1<=r<n<16)，将它分成r+1个整数，找出一种乘号的插入方法，使得r+1个整数的乘积最大。

     例如，对给定的数串847313926，如何插入r=5个乘号，使其积最大？

当给定乘号数量时首先考虑以枚举解题：

例如在7个数字之间插入三个乘号

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
string str;
int s[10];
int t[10],father[10];
int main()
{
	int i,j,count=1;
	_int64 d,y,ans=0;
	cin>>str;
	int k=str.length();
	for(i=0;i<k;i++)
		s[i+1]=str[i]-'0';
	t[0]=0;t[4]=7;
	for(t[1]=1;t[1]<=4;t[1]++)
		for(t[2]=t[1]+1;t[2]<=5;t[2]++)
			for(t[3]=t[2]+1;t[3]<=6;t[3]++)
			{
				y=1;
				for(i=0;i<=3;i++)
				{
					d=0;
					for(j=t[i]+1;j<=t[i+1];j++)
						d=d*10+s[j];
					y*=d;
				}
				if(ans<y)
				{
					ans=y;
					for(i=1;i<4;i++)
						father[i]=t[i];
				}
			}
			printf("分别插入到%d    %d    %d之后！！！最大值为%lld\n",father[1],father[2],father[3],ans);
			
			return 0;
}

对于一般插入r个乘号，采用穷举已不适合。注意到插入r个乘号是一个多阶段决策问题，应用动态规划来求解是适宜的。

二、动态规划设计

     1.建立递推关系

     设f(i,k)表示在前i位数中插入k个乘号所得乘积的最大值，a(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的j-i+1(i<=j)位整数值。

     为了寻求递推关系，先看一个实例：对给定的847313926，如何插入r=5个乘号，使其乘积最大？我们的目标是为了求取最优值f(9,5)。

     ①设前8个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(8,4)*6；

     ②设前7个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(7,4)*26；

     ③设前6个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(6,4)*926；

     ④设前5个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(5,4)*3926；

     比较最大值即为f(9,5)。

     依此类推，为了求f(8,4)：

     ①设前7个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(7,3)*2；

     ②设前6个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(6,3)*92；

     ③设前5个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(5,3)*392；

     ④设前4个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(4,3)*1392；

     比较以上4个数值的最大值即为f(8,4)。

     一般地，为了求取f(i,k)，考察数字串的前i个数字，设前j(k<=j<i)个数字中已插入k-1个乘号的基础上，在第j个数字后插入第t个乘号，显然此时的最大乘积为f(j,k-1)*a(j+1,i)。于是可以得递推关系式：

     f(i,k)=max(f(j,k-1)*a(j+1, i))       (k<=j<i)

     前j个数字没有插入乘号时的值显然为前j个数字组成的整数，因而得边界值为：

     f(j,0)=a(1,j)        (1<=j<=i)

     为简单计，在程序设计中省略a数组，用变量d替代。

     2.递推计算最优值

for (d = 0, j = 1; j <= n; j++) {
	d = d * 10 + b[j - 1];	// 输入数字串每一位赋值给b数组
	f[j][0] = d;			// 计算初始值f[j][0]
}

for (k = 1; k <= r; k++)
{
	for (i = k + 1; i <= n; i++)
		for (j = k; j < i; j++) {
			for (d = 0, u = j + 1; u <= i; u++)
				d = d * 10 + b[u - 1];	// 计算d即为a(j+1,i)
			if (f[i][k] < f[j][k - 1] * d)	// 递推求取f[i][k]
				f[i][k] = f[j][k - 1] * d;
		}
}

3.构造最优解

    为了能打印相应的插入乘号的乘积式，设置标注位置的数组t(k)与c(i,k)，其中c(i,k)为相应的f(i,k)的第k个乘号的位置，而t(k)标明第k个乘号“*”的位置，例如，t(2)=3，表示第2个“*”号在第3个数字后面。

    当给数组元素赋值f(i,k)=f(j,k-1)*d时，作相应赋值c(i,k)=j，表示f(i,k)的第k个乘号的位置是j。在求得f(n,r)的第r个乘号位置t(r)=c(n,r)=j的基础上，其他t(k)  (1<=k<=r-1)可应用下式逆推产生：

               t(k)=c(t(k+1),k)

    根据t数组的值，可直接按字符形式打印表面积所求得的插入乘号的乘积式。

// 在一个数中插入r个乘号，使其积最大
// 利用动态规划求解
#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main()
{
	char numStr[16];
	int i, j, k, len, u, r, b[16], t[16], c[16][16];
	double f[17][17], d;

	printf("请输入整数：");
	scanf("%s", numStr);
	printf("请输入插入的乘号个数r: ");
	scanf("%d", &r);
	len = strlen(numStr);
	if (len <= r) {
		printf("输入的整数位够数不够或r太大!/n");
		return 0;
	}

	printf("在整数%s中插入%d个乘号，使乘积最大：/n", numStr, r);
	for (d = 0, j = 0; j <= len - 1; j++)
		b[j] = numStr[j] - '0';
	for (d = 0, j = 1; j <= len; j++) {
		d = d * 10 + b[j - 1];	// 把b数组的一个字符转化为数值
		f[j][0] = d;			// f[j][0]赋初始值
	}
	
	for (k = 1; k <= r; k++)
		for (i = k + 1; i <= len; i++)
			for (j = k; j < i; j++) {
				for (d = 0, u = j + 1; u <= i; u++)
					d = d * 10 + b[u - 1];
				if (f[i][k] < f[j][k - 1] * d) {
					f[i][k] = f[j][k - 1] * d;
					c[i][k] = j;
				}
			}

	t[r] = c[len][r];
	for (k = r - 1; k >= 1; k--)
		t[k] = c[t[k + 1]][k];		// 逆推出第k个*号的位置
	t[0] = 0; t[r + 1] = len;
	for (k = 1; k <= r + 1; k++) {
		for (u = t[k - 1] + 1; u <= t[k]; u++)
			putchar(numStr[u - 1]);	// 输出最优解
		if (k < r + 1)
			putchar('*');
	}
	printf("=%.0f/n", f[len][r]);		// 输出最优值

	return 0;
}

插入乘号问题（DP）