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P2605 [ZJOI2010]基站选址

2024-11-26 04:20:39   204人阅读

题目描述

有N个村庄坐落在一条直线上，第i(i>1)个村庄距离第1个村庄的距离为Di。需要在这些村庄中建立不超过K个通讯基站，在第i个村庄建立基站的费用为Ci。如果在距离第i个村庄不超过Si的范围内建立了一个通讯基站，那么就村庄被基站覆盖了。如果第i个村庄没有被覆盖，则需要向他们补偿，费用为Wi。现在的问题是，选择基站的位置，使得总费用最小。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件的第一行包含两个整数N,K，含义如上所述。

第二行包含N-1个整数，分别表示D2,D3,…,DN ，这N-1个数是递增的。

第三行包含N个整数，表示C1,C2,…CN。

第四行包含N个整数，表示S1,S2,…,SN。

第五行包含N个整数，表示W1,W2,…,WN。

 

输出格式：

 

输出文件中仅包含一个整数，表示最小的总费用。

 

输入输出样例

输入样例#1：
3 21 22 3 21 1 010 20 30
输出样例#1：
4

说明

40%的数据中，N<=500；

100%的数据中，K<=N，K<=100，N<=20,000，Di<=1000000000，Ci<=10000，Si<=1000000000，Wi<=10000。

 

  • 记f[i][j]f[i][j]表示在第ii个村庄修建第jj个基站且不考虑第i + 1i+1~nn个村庄所需的最小费用。

  • 则转移方程为f[i][j] = Min(f[k][j - 1] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 \le k < i)f[i][j]=Min(f[k][j−1]+cst[k][i])+c[i](j−1≤k<i)。其中cst[k][i]cst[k][i]表示第ii~kk个村庄之间没有被基站i, ki,k覆盖的村庄所需的赔偿费用，计算费用的复杂度为O(n)O(n)，则总复杂度为O(n^2k)O(n?2??k)。

  • 这样显然是不能通过的，我们考虑如何优化：

  • 首先我们发现之前的转移方程可以去掉一维jj，实际上只要在最外层枚举jj就可以了，也就是f[i] = Min(f[k] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 \le k < i)f[i]=Min(f[k]+cst[k][i])+c[i](j−1≤k<i)。

  • 而主要的消耗在计算cst[k][i]cst[k][i]上，也就是有多少个村庄需要赔偿。

  • 对于任意一个村庄ii，记它所能被覆盖的左右边界st[i], ed[i]st[i],ed[i]（最左端、最右端可以覆盖到ii的基站位置，可用二分查找处理），然后在用邻接表记录eded值为ii的村庄有哪些，在这些村庄之前建立基站就覆盖不到ii了。

  • 这样当我们推导i + 1i+1时，若从村庄11~st[k] - 1(ed[k] = i)st[k]−1(ed[k]=i)转移过来则必定要赔偿村庄kk的费用，我们就可以考虑用线段树来维护f[k] + cst[k][i]f[k]+cst[k][i]的值，即在区间[1, st[k] - 1][1,st[k]−1]加上村庄kk的费用，而转移即在区间[1, i - 1][1,i−1]找f[k] + cst[k][i]f[k]+cst[k][i]的最小值，总复杂度为O(nlogn \times k)O(nlogn×k)。

但是不知道为什么怎么调都不对，。。。

 

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  1 #include<iostream>  2 #include<cstdio>  3 #include<cstring>  4 #include<cmath>  5 #include<cstring>  6 #include<algorithm>  7 #include<queue>  8 #define INF 0x7ffff  9 #define ls k<<1 10 #define rs k<<1|1 11 using namespace std; 12 const int MAXN=4e4+5; 13 inline void read(int &n) 14 { 15     char c=‘+‘;bool flag=0;n=0; 16     while(c<‘0‘||c>‘9‘){c=getchar();if(c==‘-‘)flag=1;} 17     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)n=n*10+c-48,c=getchar(); 18 } 19 struct node 20 { 21     int u,v,nxt; 22 }edge[MAXN]; 23 int head[MAXN]; 24 int num=1; 25 inline void add_edge(int x,int y) 26 { 27     edge[num].u=x; 28     edge[num].v=y; 29     edge[num].nxt=head[x]; 30     head[x]=num++; 31 } 32 struct T 33 { 34     int l,r,w,tag; 35 }tree[MAXN]; 36 int n,k; 37 int D[MAXN]; 38 int C[MAXN]; 39 int S[MAXN]; 40 int W[MAXN]; 41 int st[MAXN]; 42 int ed[MAXN]; 43 int dp[MAXN];// 修建了i个基站的费用  44 int ans; 45 inline void update(int k) 46 { 47     tree[k].w=min(tree[ls].w,tree[rs].w); 48 } 49 inline void pushdown(int k) 50 { 51     if(!tree[k].tag)    return ; 52     tree[ls].w+=tree[k].tag; 53     tree[ls].tag+=tree[k].tag; 54     tree[rs].w+=tree[k].tag; 55     tree[rs].w+=tree[k].tag; 56     tree[k].tag=0; 57 } 58 inline void Build_Tree(int k,int ll,int rr) 59 { 60     tree[k].tag=0; 61     tree[k].l=ll;tree[k].r=rr; 62     if(ll==rr) 63     { 64         tree[k].w=dp[ll]; 65         return ; 66     } 67     int mid=(ll+rr)>>1; 68     Build_Tree(ls,ll,mid);Build_Tree(rs,mid+1,rr); 69     update(k); 70 } 71 inline int query(int k,int ql,int qr) 72 { 73     if(tree[k].l==ql&&tree[k].r==qr)     74         return tree[k].w; 75     pushdown(k); 76     int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; 77     if(qr<=mid)    return query(ls,ql,qr); 78     else if(ql>mid)    return query(rs,ql,qr); 79     else return min(query(ls,ql,mid), 80                     query(rs,mid+1,qr)); 81 } 82 inline void change(int k,int ql,int qr,int val) 83 { 84     if(tree[k].l==ql&&tree[k].r==qr) 85     { 86         tree[k].w+=val,tree[k].tag+=val;return ; 87     }     88     pushdown(k); 89     int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; 90     if(qr<=mid)     change(ls,ql,qr,val); 91     else if(ql>mid)    change(rs,ql,qr,val); 92     else   93     { 94         change(ls,ql,mid,val); 95         change(rs,mid+1,qr,val); 96     } 97     update(k); 98 } 99 int main()100 {101     freopen("base.in","r",stdin);102     freopen("base.out","w",stdout);103     read(n);read(k);k++;104     memset(head,-1,sizeof(head));105     for(int i=2;i<=n;i++)    read(D[i]);106     for(int i=1;i<=n;i++)    read(C[i]);107     for(int i=1;i<=n;i++)    read(S[i]);108     for(int i=1;i<=n;i++)    read(W[i]);109     ++n;D[n]=W[n]=INF;110     for(int i=1;i<=n;i++)111     {112         st[i]=lower_bound(D+1,D+n+1,D[i]-S[i])-D;113         ed[i]=lower_bound(D+1,D+n+1,D[i]+S[i])-D;114         if(D[ed[i]]>S[i]+D[i])    ed[i]--;115         add_edge(ed[i],i);116     }117     118     for(int i=1;i<=k;i++)119     {120         if(i==1)121         {122             int now=0;123             for(int k=1;k<=n;k++)124             {125                 dp[k]=now+C[k];126                 for(int j=head[k];j!=-1;j=edge[j].nxt)127                 {128                     //cout<<edge[j].v<<" "<<W[edge[j].v]<<endl;129                     if(W[edge[j].v]==INF)continue;130                     now+=W[edge[j].v];131                 }132                 133             }134             ans=dp[n];135         }136         else137         {         138             Build_Tree(1,1,n);int y;139         //    for(int ii=1;ii<=10;ii++)140         //        cout<<tree[ii].w<<" ";141         //    cout<<endl;142             for(int j=1;j<=n;j++)143             {144                 dp[j]= ((j>(i-1)) ? query(1,i-1,j-1) : 0 )+ C[j];145                 for(int k=head[j];k!=-1;k=edge[k].nxt)146                     if(st[y=edge[k].v]>1)147                         change(1,1,st[y]-1,W[y]);148             }149             ans=min(ans,dp[n]);150         }151     }152     printf("%d",ans);153     return 0;154 }
UKE

 

本代码来自：https://www.luogu.org/wiki/show?name=%E9%A2%98%E8%A7%A3+P2605


  1 #include <iostream>  2 #include <cstdio>  3 #include <cstring>  4 #include <algorithm>  5 #define sL (s << 1)  6 #define sR (s << 1 | 1)  7   8 using namespace std;  9 const int Maxn = 0x3f3f3f3f; 10 const int N = 2e4 + 5, M = N << 2; 11 int d[N], c[N], w[N], s[N], st[N], ed[N], f[N];  12 int n, k, Ans, val[M], tag[M]; 13  14 struct point 15 { 16     int to; point *nxt; 17 }a[M], *T = a, *lst[N];  18  19 inline void addEdge(const int &x, const int &y) {T->nxt = lst[x]; T->to = y; lst[x] = T++;}  20 template <class T> inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b? a : b;} 21 template <class T> inline void CkMin(T &a, const T &b) {if (a > b) a = b;} 22  23 inline int get() 24 { 25     char ch; bool f = false; int res = 0; 26     while (((ch = getchar()) < ‘0‘ || ch > ‘9‘) && ch != ‘-‘); 27     if (ch == ‘-‘) f = true; 28      else res = ch - ‘0‘; 29     while ((ch = getchar()) >=‘0‘ && ch <= ‘9‘) 30         res = (res << 3) + (res << 1) + ch - ‘0‘; 31     return f? ~res + 1 : res; 32 } 33  34 inline void put(int x) 35 { 36     if (x < 0) 37       x = ~x + 1, putchar(‘-‘); 38     if (x > 9) put(x / 10); 39     putchar(x % 10 + 48); 40 } 41  42 inline void Push(const int &s) {val[s] = Min(val[sL], val[sR]);} 43 inline void Add(const int &s, const int &z)  44 {val[s] += z; tag[s] += z;} 45  46 inline void Down(const int &s) 47 { 48     if (!tag[s]) return ; 49     Add(sL, tag[s]); Add(sR, tag[s]); tag[s] = 0; 50 } 51  52 inline void Build(const int &s, const int &l, const int &r) 53 { 54     tag[s] = 0; 55     if (l == r) return (void)(val[s] = f[l]); 56     int mid = l + r >> 1; 57     Build(sL, l, mid); Build(sR, mid + 1, r); 58     Push(s); 59 } 60  61 inline int Query(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y) 62 {  63     if (l == x && r == y) return val[s]; 64     Down(s); int mid = l + r >> 1;  65     if (y <= mid) return Query(sL, l, mid, x, y); 66      else if (x > mid) return Query(sR, mid + 1, r, x, y); 67       else return Min(Query(sL, l, mid, x, mid), 68                          Query(sR, mid + 1, r, mid + 1, y)); 69 } 70  71 inline void Modify(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y, const int &z) 72 { 73     if (l == x && r == y) return Add(s, z); 74     Down(s); int mid = l + r >> 1; 75     if (y <= mid) Modify(sL, l, mid, x, y, z); 76      else if (x > mid) Modify(sR, mid + 1, r, x, y, z); 77       else  78       { 79           Modify(sL, l, mid, x, mid, z); 80           Modify(sR, mid + 1, r, mid + 1, y, z); 81       } 82     Push(s); 83 } 84  85 int main() 86 { 87     n = get(); k = get() + 1; 88     for (int i = 2; i <= n; ++i) d[i] = get(); 89     for (int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = get(); 90     for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = get(); 91     for (int i = 1; i <= n; ++i) w[i] = get(); 92     ++n; d[n] = w[n] = Maxn;   93     //当我们推导i时，我们只考虑了它和前面的基站产生的影响 94     //这时对于最后一个基站我们不会考虑它和之后的村庄产生的影响 95     //则我们可以在最后增加一个村庄 96     //保证它必定被作为基站（无建设费用）且不对前面产生影响 97     //这样就不会有遗漏的了  98     for (int i = 1; i <= n; ++i) 99     {100         st[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] - s[i]) - d;101         ed[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] + s[i]) - d;102         if (d[ed[i]] > d[i] + s[i]) ed[i]--; addEdge(ed[i], i);103         //lower_bound查找的是大于等于x的第一个数104         //而ed[i]要求的是小于等于x的最后一个数105         //所以判断一下减一就可以了 106     }107     for (int i = 1; i <= k; ++i)108     if (i == 1)109     {110         int res = 0;111         for (int j = 1; j <= n; ++j)112         {113             f[j] = res + c[j];114             for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt)115              res += w[e->to];116          }117          Ans = f[n];118     }119     else 120     {121         Build(1, 1, n); int y;122         for (int j = 1; j <= n; ++j)123         {124             //注意线段树区间的边界条件125             f[j] = (j > i - 1 ? Query(1, 1, n, i - 1, j - 1) : 0) + c[j];126             for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt)127              if (st[y = e->to] > 1) Modify(1, 1, n, 1, st[y] - 1, w[y]);128             //这里其实只要修改区间[i, st[y] - 1]就行了129             //不过询问/修改的区间长对于线段树其实更快 130         }131         CkMin(Ans, f[n]);132     }133     return put(Ans), 0;134 }

 

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