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【转换背包】HDU 4381 Grid

通道:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4381

题意:给n个块,编号从1到n,以及m个操作,初始时n个块是黑色。操作有2种形式(可以忽略某些操作且如果区间内没有足够的黑块(黑块用于涂白),则不能进行这个操作):

  1 ai xi : 从[1,ai]选xi个块,将这些块涂白。

  2 ai xi:从[ai,n]选xi个块,将这些块涂白。

思路:本题难点在于正确处理两种操作,不妨假设只有一种操作,那么这种操作如果是1的话那么就把操作按照a从小到大排序,每次都尽量往最左边涂,如果是2的话则类似的涂到最右边,但本题两种操作都出现了。

先考虑第一问:

我们把所有的操作按类别区分开,假设所有的1操作尽量用上能从1涂到a格子,所有的2操作尽量用上能从b格子涂到n,假设a<b,那么答案显然是a+n-b+1。那么假设a>=b,那么假设1操作从1涂到x,那么2操作一定会从n尽量往左边涂,直到x为止。最后两边的总和就是答案。

由上不难想到一个DP,l[i][j]表示用了前i种1操作,从1涂到j的最小操作数,转移l[i][j]=min(l[i][j],l[i-1][j-ope[i].x]+1)(ope[i].x<=j<=ope[i].a),类似的,我们可以得到r[i][j]表示用2操作从j涂到n需要的最小操作数。dp复杂度O(n*m)。(这个背包也可以压缩一维,后面的l,r均为1维的状态)

那么我们倒着枚举涂色最大的数目,假设为k,这个数目必然由1操作贡献一部分,由2操作贡献一部分(也可能一个贡献全部,另一个为0),那么我们枚举1操作涂到了i,那么2操作必然涂到了n-(k-i)+1,如果l[i]和r[n-(k-i)+1]均有值,那么说明这个最大数目是可达的,即是第一问的答案。枚举复杂度O(n*n)。

再考虑第二问:

现在我们已经知道最大数目了,这个数目是由操作1和操作2一起贡献的,那么我们仍然可以枚举操作1涂到了i,那么操作2涂到了n-(ans-i)+1,如果l[i]和r[n-(k-i)+1]均有值,那么其和可以用来更新第二问的答案,最后第二问的答案为所有合法方案需操作数的最小值。枚举复杂度O(n*n)

代码:https://github.com/Mithril0rd/Rojo/blob/master/hdu4381.cpp

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