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NOIP2013提高组DAY1T2火柴排队 vijos1842
火柴排队
描述
涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为:∑i=1n(ai−bi)2
,其中 ai
表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度,bi
表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
格式
输入格式
共三行,第一行包含一个整数 n,表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第二列火柴的高度。
输出格式
输出共一行,包含一个整数,表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
样例输入
样例输入1
4
2 3 1 4
3 2 1 4
样例输入2
4
1 3 4 2
1 7 2 4
样例输出1
1
样例输出2
2
先是贪心得出当两个队伍的火柴大小次序一样时最优。证明从略(谁说我不会)。
通过排序得到两个队伍里每个火柴的次序。假设a队列不动,要把b的次序变成和a一样,此时就要构造一个数组c,令c[i]:=rankb[i]在ranka中的位置。(我写的时候直接覆盖了,没开数组)。不过这个我想了很久,当时状态不大好,脑袋卡壳。
接下来才是关键。得到c后,我们只要求出c交换多少次后是有序的就行了,也就是求逆序对。(因为一次交换只能消除一个逆序对)。
因为有100000根火柴,暴力肯定过不了。所以要更好的算法。有树状数组或线段树(这个暂时不会)。但同样有n lg n 的算法,并且好实现得多。
这就是归并排序。我一说大家都懂了吧。在合并时判断一下就行了。
type
data=http://www.mamicode.com/array[0..100000]of longint;
const yu=99999997;
var i,j,k,n:longint;
ans:int64;
a,b,c,r,o,rank:array[0..100000]of longint;
procedure qsort(l,r:longint; var a:data);
var i,j,t,mid:longint;
begin
i:=l; j:=r; mid:=a[(i+j)div 2];
repeat
while a[i]<mid do inc(i);
while a[j]>mid do dec(j);
if i<=j then
begin
t:=o[i];
o[i]:=o[j];
o[j]:=t;
t:=a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=t;
inc(i);
dec(j);
end;
until i>j;
if l<j then qsort(l,j,a);
if i<r then qsort(i,r,a);
end;
procedure gui(l,t:longint);
var i,j,m,k,len:longint;
begin
if l=t then exit;
m:=(l+t)div 2;
gui(l,m);
gui(m+1,t);
i:=l; j:=m+1;
k:=l;
len:=m-l+1;
while (i<=m)and(j<=t)do
begin
if c[i]<c[j] then
begin r[k]:=c[i]; inc(i); inc(k); end
else
begin r[k]:=c[j]; inc(j); inc(k); ans:=ans+m-i+1; end;
end;
ans:=ans mod yu;
while i<=m do
begin r[k]:=c[i]; inc(i); inc(k); end;
while j<=t do
begin r[k]:=c[j]; inc(j); inc(k); end;
for i:=l to t do c[i]:= r[i];
end;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do read(a[i]);
for i:=1 to n do read(b[i]);
for i:=1 to n do
o[i]:=i;
qsort(1,n,a);
for i:=1 to n do
begin
a[o[i]]:=i;
o[i]:=i;
end;
for i:=1 to n do rank[a[i]]:=i;
qsort(1,n,b);
for i:=1 to n do
b[o[i]]:=i;
for i:=1 to n do
c[i]:=rank[b[i]];
gui(1,n);
writeln(ans);
end.
方法二:树状数组求逆序对
下面是我转载的树状数组求逆序对的解释:
转载:
树状数组,具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.
算法的大体流程就是:
1.先对输入的数组离散化,使得各个元素比较接近,而不是离散的,
2.接着,运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。
算法详细解释:
1.解释为什么要有离散的这么一个过程?
刚开始以为999.999.999这么一个数字,对于int存储类型来说是足够了。
还有只有500000个数字,何必要离散化呢?
刚开始一直想不通,后来明白了,后面在运用树状数组操作的时候,
用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的,
不是单纯的建立在输入数组之上。
比如输入一个9 1 0 5 4,那么C[i]树状数组的建立是在,
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的,
所以如果用数组位存储的话,那么需要999999999的空间来存储输入的数据。
这样是很浪费空间的,题目也是不允许的,所以这里想通过离散化操作,
使得离散化的结果可以更加的密集。
2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作?
离散化是一种常用的技巧,有时数据范围太大,可以用来放缩到我们能处理的范围;
因为其中需排序的数的范围0---999 999 999;显然数组不肯能这么大;
而N的最大范围是500 000;故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射;
①当然用map可以建立,效率可能低点;
②这里用一个结构体
struct Node
{
int v,ord;
}p[510000];和一个数组a[510000];
其中v就是原输入的值,ord是下标;然后对结构体按v从小到大排序;
此时,v和结构体的下标就是一个一一对应关系,而且满足原来的大小关系;
for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;
然后a数组就存储了原来所有的大小信息;
比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3;
具体的过程可以自己用笔写写就好了。
3. 离散之后,怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作,计算出逆序数?
如果数据不是很大, 可以一个个插入到树状数组中,
每插入一个数, 统计比他小的数的个数,
对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),
其中 i 为当前已经插入的数的个数,
getsum( aa[i] )为比 aa[i] 小的数的个数,
i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数, 即逆序的个数
但如果数据比较大,就必须采用离散化方法
假设输入的数组是9 1 0 5 4, 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};
在离散结果中间结果的基础上,那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。
1,输入5, 调用upDate(5, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
0 0 0 0 1
计算1-5上比5小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(5) = 1操作,
现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。
2. 输入2, 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 1
计算1-2上比2小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(2) = 1操作,
现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。
3. 输入1, 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 0 1
计算1-1上比1小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(1) = 1操作,
现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。
4. 输入4, 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
计算1-4上比4小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(4) = 3操作,
现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。
5. 输入3, 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
计算1-3上比3小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(3) = 3操作,
现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。
6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数
分析一下时间复杂度,首先用到快速排序,时间复杂度为O(NlogN),
后面是循环插入每一个数字,每次插入一个数字,分别调用一次upData()和getSum()
外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).
最后总的还是O(NlogN).
然后是实现的代码
这个代码没有使用上述的方法,改进了一下,上述方法是正序添加元素寻找比它小的值,还需要用添加的总元素减去比它小的元素就是比它大的元素。下面的代码只需要逆序添加元素,在已添加的元素中寻找比它小的元素,就不需要用添加的总元素再去减了。
- #include<cstdio>
- #include<algorithm>
- #include<cstring>
- using namespace std;
- #define MAXN 100010
- #define MOD 99999997
- struct node{
- int v,t;
- }a[MAXN],b[MAXN];
- bool cmp(node x,node y)
- {
- return x.v<y.v;
- }
- int n,aa[MAXN],ans=0;
- int t[MAXN];
- int lowbit(int x)
- {
- return x&(-x);
- }
- void Add(int x)
- {
- for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
- t[i]++;
- }
- int Sum(int x){
- int rec=0;
- for(;x;x-=lowbit(x))
- rec+=t[x];
- return rec;
- }
- int main()
- {
- scanf("%d",&n);
- int i;
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- scanf("%d",&a[i].v);
- a[i].t=i;
- }
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- scanf("%d",&b[i].v);
- b[i].t=i;
- }
- sort(a+1,a+n+1,cmp);
- sort(b+1,b+n+1,cmp);
- for(i=1;i<=n;i++)
- aa[a[i].t]=b[i].t;
- for(i=n;i>=1;i--)
- {
- ans+=Sum(aa[i]);
- Add(aa[i]);
- ans%=MOD;
- }
- printf("%d\n",ans);
- return 0;
- }
NOIP2013提高组DAY1T2火柴排队 vijos1842