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[NOIP2013] 火柴排队

2024-11-05 08:53:02   204人阅读

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

输入文件为 match.in。

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式：

输出文件为 match.out。

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1：
【输入输出样例 1】
4
2 3 1 4
3 2 1 4
【输入输出样例 2】
4
1 3 4 2
1 7 2 4
输出样例#1：
【输入输出样例 1】
1
【输入输出样例 2】
2

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint

 

题解：

这题一看就知道要解决两个问题：

Q1：如何使∑(ai-bi)^2最小

Q2：怎样算出移动步数

A1：首先两两交换等价于随便移动一个元素，那么两个序列sort之后求出的结果是最小的（证明：貌似找不出比这个更小的情况 = =、）

A2：首先移动两个序列等价于移动一个序列，那么只要以一个序列为标准，移动另外一个序列即可

首先离散化，这样两个序列的元素都∈[1,n]

然后以b序列为标准，从头依次取出每一个元素对应的下标

将这些下标对应到a数组上，问题转化为求逆序对的个数

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #define RG register
 8 using namespace std;
 9 
10 const int mod = 99999997;
11 
12 int n,a[100010],b[100010],he[100010],ha[100010],hi[100010],ho[100010];
13 int ans,tmp[100010];
14 
15 void merge(int l, int r) {
16   if(l==r) return;
17   int mid=(l+r)>>1;
18   merge(l,mid),merge(mid+1,r);
19   int i=l,j=mid+1,p=l;
20   while(i<=mid && j<=r) {
21     if(ho[i]>ho[j]) tmp[p++]=ho[j++],ans+=mid-i+1,ans%=mod;
22     else tmp[p++]=ho[i++];
23   }
24   while(i<=mid) tmp[p++]=ho[i++];
25   while(j<=r) tmp[p++]=ho[j++];
26   for(int i=l; i<=r; i++) ho[i]=tmp[i];
27 }
28 
29 int main() {
30   scanf("%d", &n);
31   for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]),he[i]=a[i];
32   for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &b[i]),ha[i]=b[i];
33   sort(he+1,he+n+1),sort(ha+1,ha+n+1);//排好序的下表代表了相对值
34   for(int i=1; i<=n; i++) {
35     a[i]=lower_bound(he+1,he+n+1,a[i])-he;//坐标离散之后，询问相对值
36     b[i]=lower_bound(ha+1,ha+n+1,b[i])-ha;
37   }
38   for(int i=1; i<=n; i++) hi[b[i]]=i;
39   for(int i=1; i<=n; i++) ho[i]=hi[a[i]];
40   merge(1,n);
41   ans%=mod;
42   printf("%d", ans);
43   return 0;
44 }

 

[NOIP2013] 火柴排队


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