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1966 火柴排队
难度：提高+/省选-
题目类型：贪心/分治
提交次数：5
涉及知识：逆序对、离散化
题目描述
涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2
其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入输出格式
输入格式：
输入文件为 match.in。
共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。
输出格式：
输出文件为 match.out。
输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入输出样例
【输入输出样例 1】
4
2 3 1 4
3 2 1 4
【输入输出样例 2】
4
1 3 4 2
1 7 2 4
【输入输出样例 1】
1
【输入输出样例 2】
2
说明
【输入输出样例说明1】
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【输入输出样例说明2】
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint
代码：
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 int n;
5
6 struct node{
7 int num;
8 int no;
9 }a[100005],b[100005];
10
11 bool cmp(node n1, node n2){
12 return n1.num<n2.num;
13 }
14
15 int f[100005];
16 int temp[100005];
17 int ans = 0;
18
19 void merge(int l, int m, int r){
20 int i = l, k = l, j = m+1;
21 while(i <= m&&j <= r){
22 if(f[i]>f[j]){
23 temp[k++] = f[j++];
24 ans = (ans+m-i+1)%99999997;
25 }
26 else
27 temp[k++] = f[i++];
28 }
29 while(i <= m)
30 temp[k++] = f[i++];
31 while(j <= r)
32 temp[k++] = f[j++];
33 for(i = l; i <= r; i++)
34 f[i] = temp[i];
35 }
36
37 void merge_sort(int l, int r){
38 if(l < r){
39 int m = (l+r)/2;
40 merge_sort(l, m);
41 merge_sort(m+1, r);
42 merge(l, m, r);
43 }
44
45 }
46 int main(){
47 cin>>n;
48 int i;
49 for(i = 1; i <= n; i++){
50 cin>>a[i].num;
51 a[i].no = i;
52 }
53 for(i = 1; i <= n; i++){
54 cin>>b[i].num;
55 b[i].no = i;
56 }
57 sort(a+1, a+n+1, cmp);
58 sort(b+1, b+n+1, cmp);
59 for(i = 1; i <= n; i++)
60 f[a[i].no] = b[i].no; //构造映射
61 // 我们的目的：使a中第i大的数和b中第i大的数对齐
62 // a数列中第a[i].no位置的数，应该排在b[i].no位置，所以其实际价值为b[i].no
63 // 从小到大排序，求逆序对
64 merge_sort(1, n);
65 cout<<ans<<endl;
66 return 0;
67 }
备注：
上周讲的贪心专题中的一道题。首先是固定一行火柴不动，交换另一行火柴，使火柴的大小关系相对应。∑(ai-bi)^2展开之后可以发现，就是自招课上提到过的排序不等式，所以大小关系相对应时结果最小，也可以用数学归纳法证明。
接下来就转变成了一个找逆序对的问题。为什么是找逆序对呢？直观上是因为只能交换相邻两根火柴……老师课上好像给了证明，“假设a和b逆序且不相邻，则存在与a相邻逆序对"。算了我不太明白我也不想想了。
第一个问题就是f[a[i].no] = b[i].no，我可是琢磨了一中午这个道理。先把ab都排好序，对于a中第a[i].no个数，它的目标位置在第b[i].no个，那我们就认为这个位置的数的实际价值为b[i].no，这样对f数组进行排序就可以让大家各回各家（这个过程中找逆序对）。。实际上就是一个离散化的过程。我可能理解的还不是很深刻。
我妈来接我了我要回家了。
另外一个问题就是取模错了。导致一直80分……
1966 火柴排队