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BZOJ 4541: [Hnoi2016]矿区 平面图转对偶图+DFS树
4541: [Hnoi2016]矿区
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Description
平面上的矿区划分成了若干个开发区域。简单地说，你可以将矿区看成一张连通的平面图，平面图划分为了若
干平面块，每个平面块即为一个开发区域，平面块之间的边界必定由若干整点(坐标值为整数的点)和连接这些整点
的线段组成。每个开发区域的矿量与该开发区域的面积有关：具体而言，面积为s的开发区域的矿量为 s^2。现在
有 m 个开采计划。每个开采计划都指定了一个由若干开发区域组成的多边形，一个开采计划的优先度被规定为矿
量的总和÷开发区域的面积和；例如，若某开采计划指定两个开发区域，面积分别为 a和b，则优先度为(a^2+b^2)
/(a+b)。由于平面图是按照划分开发区域边界的点和边给出的，因此每个开采计划也只说明了其指定多边形的边界
，并未详细指明是哪些开发区域（但很明显，只要给出了多边形的边界就可以求出是些开发区域）。你的任务是求
出每个开采计划的优先度。为了避免精度问题，你的答案必须按照分数的格式输出，即求出分子和分母，且必须是
最简形式（分子和分母都为整数，而且都消除了最大公约数；例如，若矿量总和是 1.5，面积和是2，那么分子应
为3，分母应为4；又如，若矿量和是 2，面积和是 4，那么分子应为 1，分母应为 2）。由于某些原因，你必须依
次对每个开采计划求解（即下一个开采计划会按一定格式加密，加密的方式与上一个开采计划的答案有关）。具体
的加密方式见输入格式。
Input
第一行三个正整数 n,m,k，分别描述平面图中的点和边，以及开采计划的个数。接下来n行，第 i行(i=1,2,…
,n)有两个整数x_i, y_i, 表示点i的坐标为(x_i, y_i)。接下来m行，第 i行有两个正整数a,b，表示点a和b 之间
有一条边。接下来一行若干个整数，依次描述每个开采计划。每个开采计划的第一个数c指出该开采计划由开发区
域组成的多边形边界上的点的个数为d=(c+P) mod n + 1；接下来d个整数，按逆时针方向描述边界上的每一个点：
设其中第i个数为z_i，则第i个点的编号为(z_i+P) mod n + 1。其中P 是上一个开采计划的答案中分子的值；对于
第 1 个开采计划，P=0。
Output
对于每个开采计划，输出一行两个正整数，分别描述分子和分母。
Sample Input
0 0
1 0
2 0
0 1
1 1
2 1
0 2
1 2
2 2
1 2
2 3
5 6
7 8
8 9
1 4
4 7
5 8
3 6
6 9
4 8
1 5
2 6
6 8
3 3 0 4 7 1 3 4 6 4 8 0 4 3 6 2 3 8 0 4 6 2 5 0 4 5 7 6 3
Sample Output
1 2
1 1
9 10
3 4
HINT
输入文件给出的9个点和14条边描述的平面图如下所示：
第一个开采计划，输入的第1个值为3，所以该开采计
划对应的多边形有(3+0) mod 8 +1=4个点，将接下的4个数3,0,4,7，分别代入(z_i+0) mod n + 1得到4个点的编号
为4,1,5,8。计算出第一个开采计划的分子为1，分母为1。类似地，可计算出余下开采计划的多边形的点数和点的
编号：第二个开采计划对应的多边形有3个点，编号分别为5, 6, 8。第三个开采计划对应的多边形有6个点，编号
分别为1, 2, 6, 5, 8, 4。第四个开采计划对应的多边形有5个点，编号分别为1, 2, 6, 8, 4。第五个开采计划对
应的多边形有6个点，编号分别为1, 5, 6, 8, 7, 4。
对于100%的数据，n, k ≤ 2×10^5, m ≤ 3n-6, |x_i|, |y
_i| ≤ 3×10^4。所有开采计划的d之和不超过2×10^6。保证任何开采计划都包含至少一个开发区域，且这些开发
区域构成一个连通块。保证所有开发区域的矿量和不超过 2^63-1。保证平面图中没有多余的点和边。保证数据合
法。由于输入数据量较大，建议使用读入优化。
Source
题意：一个开采计划优先度为$\frac{\sum S^2(X)}{\sum S(X)}$其中X∈A,S(x)为开发区域的面积。
想法：将原平面图G转对偶图G‘后，一个域被算入的条件就是不与外面的无穷域Rt连通。如果以无穷域为根，DFS遍历得到的树T。对于在G‘中与Rt相连的要么是Rt在T中的儿子，要么是T中叶子节点。理由：DFS树没有横叉边。同时因为这个理由，一个开采计划就一定是树上一个连通块。所以只要保证这个连通块被割下来就好了咯。
具体过程：
1.平面图G转对偶图G’。(不会戳这里)
2.DFS遍历图G‘得到树T，每个节点维护$S(x)$，$S^2(x)$子树和
3.回答询问。对于有向边(u->v)，先找到其在G‘中对应的上下域(a,b)。如果(a,b)是非树边，那么就可以忽略，毕竟不会影响答案统计。是树边，就要分情况累加答案。
先分析一下：假设(u->v)方向的都割掉连通块与叶子节点通路上的边，那么就肯定是减去b的子树和，反之加上a的子树和。如果(u->v)的不是，答案便要取反。所以这样统计是可行的。判断条件：a是不是b的父亲。
总复杂度$O(M\log M+\sum d)$
#include< algorithm>#include< cmath >#include< cstdio >#include< vector >#define gec getchar#define FILE(F) freopen(F".in","r",stdin),freopen(F".out","w",stdout)#define DEBUG fprintf(stderr,"Passing [%s] in Line (%d)\n",__FUNCTION__,__LINE__);typedef long long ll;templateinline void read(T&x){ x=0;bool f=0;char c=gec(); for(;c<‘0‘||c>‘9‘;c=gec())f=(c==‘-‘); for(;c>=‘0‘&&c<=‘9‘;c=gec())x=x*10+c-‘0‘; x=f?-x:x;}const int MAXN(200010),MAXM(600010);int n,m,k,a,b;ll P,Q;struct Coor{ int x,y; Coor(){}; Coor(int a,int b):x(a),y(b){}; inline Coor operator +(const Coor&A){return Coor(x+A.x,y+A.y);}inline Coor operator -(const Coor&A){return Coor(x-A.x,y-A.y);}inline Coor operator *(const double k){return Coor(k*x,k*y);}inline Coor operator /(const double k){return Coor(x/k,y/k);}}PA[MAXN];ll acorss(Coor A,Coor B){return (ll)A.x*B.y-(ll)A.y*B.x;}ll dot(Coor A,Coor B){return (ll)A.x*B.x+(ll)A.y*B.y;}//===================================================计算几何struct Next{ int u,v,id;double ang; Next(){} Next(int a,int b,int k) {u=a; v=b; id=k; ang=atan2(PA[u].x-PA[v].x,PA[u].y-PA[v].y);}inline bool operator <(const Next &A)const {return ang<A.ang;}}e[MAXM<<1]; std::vectorEdge[MAXN];int cnt=1,Nex[MAXM<<1],col[MAXM<<1];bool flag[MAXM<<1];int etot,rt;ll S[MAXN<<1],Sp[MAXN<<1];struct Node{int nd,nx;}bot[MAXM<<1];int tot=1,first[MAXN<<1],fa[MAXN<<1];bool vis[MAXN<<1];//F-E+V=2void add(int a,int b){bot[++tot]=(Node){b,first[a]};first[a]=tot;}namespace planar_graph{ int Two_Find(int num,Next &x) { int l=0,r=Edge[num].size()-1,mid,Ans; for(;l<=r;)if(x<Edge[num][mid=(l+r)>>1])r=mid-1;else l=mid+1,Ans=mid; return Ans; } void Get_planar() { for(int i=2;i<=cnt;i++) if(!col[i]) { int now=i;col[i]=++etot;ll tmp_s=0; for(;;) { now=Nex[now];col[now]=etot; if(e[now].v==e[i].u)break;//成环 tmp_s+=acorss(PA[e[now].v]-PA[e[i].u],PA[e[now].u]-PA[e[i].u]); } S[etot]=tmp_s; if(tmp_s<=0)rt=etot;//无穷域 } for(int i=2;i<=cnt;i++) add(col[i],col[i^1]);//相邻域连边 } void build() { for(int i=1;i<=m;i++) { read(a);read(b); ++cnt;e[cnt]=Next(a,b,cnt); Edge[a].push_back(e[cnt]); ++cnt;e[cnt]=Next(b,a,cnt); Edge[b].push_back(e[cnt]); } for(int i=1;i<=n;i++) std::sort(Edge[i].begin(),Edge[i].end()); for(int i=2;i<=cnt;i++) { Nex[i]=Two_Find(e[i].v,e[i^1])-1; if(Nex[i]<0)Nex[i]=Edge[e[i].v].size()-1; Nex[i]=Edge[e[i].v][Nex[i]].id; }//找下一条边 Get_planar(); }}//===================================================平面图转对偶图namespace WW_HASH{ const int MP(980321),HM(233333); int nx[MAXM<<1],head[MP]; void build_HASH() { for(int i=2,v;i<=cnt;i++) { v=((ll)e[i].u*HM%MP+e[i].v)%MP; nx[i]=head[v];head[v]=i; } } int Find(int a,int b) { int v=((ll)a*HM%MP+b)%MP; for(v=head[v];v;v=nx[v]) if(e[v].u==a&&e[v].v==b)return v; exit(0);//不存在的 }}void Dfs(int x){ vis[x]=1; Sp[x]=S[x]*S[x]; S[x]<<=1; for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx) if(!vis[bot[v].nd]) { fa[bot[v].nd]=x; flag[v]=flag[v^1]=1; Dfs(bot[v].nd); S[x]+=S[bot[v].nd]; Sp[x]+=Sp[bot[v].nd]; }}ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}const int SUMD(2000010);int d,z[SUMD];int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE FILE("C");#endif read(n);read(m);read(k); for(int i=1;i<=n;i++) read(PA[i].x),read(PA[i].y); planar_graph::build(); WW_HASH::build_HASH(); Dfs(rt);// DEBUG; for(int i=1;i<=k;i++) { read(d);d=(d+P)%n +1; for(int j=1;j<=d;j++) read(z[j]),z[j]=(z[j]+P)%n +1; z[0]=z[d]; P=Q=0; for(int j=1,id;j<=d;j++) { id=WW_HASH::Find(z[j-1],z[j]);// fprintf(stderr,"id:%d\n",id); if(!flag[id])continue;//非树边 if(fa[col[id]]==col[id^1]) P-=Sp[col[id]],Q-=S[col[id]]; else P+=Sp[col[id^1]],Q+=S[col[id^1]];// fprintf(stderr,"%lld %lld\n",P,Q); } if(P<0)P=-P,Q=-Q;// DEBUG;// fprintf(stderr,"%lld %lld\n",P,Q); ll g=gcd(P,Q);P/=g;Q/=g; printf("%lld %lld\n",P,Q); } //DEBUG; return 0;}BZOJ 4541: [Hnoi2016]矿区 平面图转对偶图+DFS树