bzoj4540: [Hnoi2016]序列

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2024-09-26 14:52:02 213人阅读

4540: [Hnoi2016]序列

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Description

　　给定长度为n的序列：a1,a2,…,an，记为a[1:n]。类似地，a[l:r]（1≤l≤r≤N）是指序列：a_l,a_l+1,…,a_r-
1,a_r。若1≤l≤s≤t≤r≤n，则称a[s:t]是a[l:r]的子序列。现在有q个询问，每个询问给定两个数l和r，1≤l≤r
≤n，求a[l:r]的不同子序列的最小值之和。例如，给定序列5,2,4,1,3，询问给定的两个数为1和3，那么a[1:3]有
6个子序列a[1:1],a[2:2],a[3:3],a[1:2],a[2:3],a[1:3]，这6个子序列的最小值之和为5+2+4+2+2+2=17。

Input

　　输入文件的第一行包含两个整数n和q，分别代表序列长度和询问数。接下来一行，包含n个整数，以空格隔开
,第i个整数为ai，即序列第i个元素的值。接下来q行，每行包含两个整数l和r，代表一次询问。

Output

　　对于每次询问，输出一行，代表询问的答案。

Sample Input

5 5
5 2 4 1 3
1 5
1 3
2 4
3 5
2 5

Sample Output

28
17
11
11
17

HINT

1 ≤N,Q ≤ 100000,|Ai| ≤ 10^9

题解

　　这题一直没过今天发现单调栈写错了……

　　首先我们找出L[i],R[i]表示[L[i],i]和[i,R[i]都是比a[i]大的数，且a[L[i]-1]和a[R[i]+1]都要比a[i]大，这样左端点在[L[i],i],右端点在[i,R[i]]的区间都是以a[i]为最小值。也就是可以认为在二维平面上x坐标是[L[i],i]y坐标是[i,R[i]]的点权值都是a[i],而我们查询的实际上就是二维平面上[l,r][l,r]的矩形权值和。

　　L[i]和R[i]可以一遍单调栈轻松求出来。这样剩下的就是一个矩形加矩形求和的问题了，当然可以主席树来搞，但是觉得写的麻烦的我用了奇怪的办法……

　　首先把询问拆成（l-1,l..r）,(r,l..r）两个，这样询问就是两个求前缀和的操作。用一条扫描线扫过去，矩形拆成加入和删除的删除(l1,l2,r2,+w),(r1+1,l2,r2,-w)。用一颗线段树维护当前扫描线上的权值，加入当前扫描线在i的位置，有询问LR，那么首先计算x=sum1(L,R)*(i+1)的值，但是我们发现这样的话，假如矩形加事件发生在l1那么就会多算(1,l1)的部分。同时，如果一个矩形已经结束，我们会少算（l1,r1）的部分。这样我们可以再维护一颗线段树，事件(pos,l,r,w),每次加的权值是pos*w，最后把x-sum2（L,R）就行了。

　　代码比较丑……主要是这个思想对吧……

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cmath>
  5 #include<algorithm>
  6 #define inf 1000000001
  7 using namespace std;
  8 const int N=200085;
  9 long long F[4*N],Tag[4*N],f[4*N],tag[4*N];
 10 long long  ans[N];
 11 long long  a[N],st[N],L[N],R[N];
 12 struct opr{int id,l,r,ps,dd;}op[2*N];
 13 struct mar{int l,r,dd,ps;long long w;}data[2*N];
 14 int n,m,l,r,tt,tot;
 15 inline long long  read()
 16 {
 17     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 18     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
 19     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
 20     return x*f;
 21 }
 22 bool cmp1(mar a,mar b)
 23 {
 24     return a.ps<b.ps;
 25 }
 26 bool cmp2(opr a,opr b)
 27 {
 28     return a.ps<b.ps;
 29 }
 30 void INS(int i,int l,int r,int ll,int rr,long long w)
 31 {
 32     if((ll<=l)&&(r<=rr))
 33     {
 34         Tag[i]+=w;F[i]+=w*(long long)(r-l+1);return;
 35     }
 36     int mid=(l+r)/2;
 37     if(ll<=mid)INS(i*2,l,mid,ll,rr,w);if(mid+1<=rr)INS(i*2+1,mid+1,r,ll,rr,w);
 38     F[i]=Tag[i]*(long long)(r-l+1)+F[i*2]+F[i*2+1];
 39 }
 40 void ins(int i,int l,int r,int ll,int rr,long long w)
 41 {
 42     if((ll<=l)&&(r<=rr))
 43     {
 44         tag[i]+=w;f[i]+=w*(long long)(r-l+1);return;
 45     }
 46     int mid=(l+r)/2;
 47     if(ll<=mid)ins(i*2,l,mid,ll,rr,w);if(mid+1<=rr)ins(i*2+1,mid+1,r,ll,rr,w);
 48     f[i]=tag[i]*(long long)(r-l+1)+f[i*2]+f[i*2+1];
 49 }
 50 long long ASK(int i,int l,int r,int ll,int rr)
 51 {
 52     if((ll<=l)&&(r<=rr))return F[i];
 53     int mid=(l+r)/2;long long tmp=Tag[i]*(long long)(min(rr,r)-max(ll,l)+1);
 54     if(ll<=mid)tmp+=ASK(i*2,l,mid,ll,rr);if(mid+1<=rr)tmp+=ASK(i*2+1,mid+1,r,ll,rr);
 55     return tmp;
 56 }
 57 long long ask(int i,int l,int r,int ll,int rr)
 58 {
 59     if((ll<=l)&&(r<=rr))return f[i];
 60     int mid=(l+r)/2;long long tmp=tag[i]*(long long)(min(rr,r)-max(ll,l)+1);
 61     if(ll<=mid)tmp+=ask(i*2,l,mid,ll,rr);if(mid+1<=rr)tmp+=ask(i*2+1,mid+1,r,ll,rr);
 62     return tmp;
 63 }
 64 int main()
 65 {
 66     int n=read(),m=read();
 67     for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
 68     a[0]=-inf;
 69     int top=0;st[0]=0;
 70     for(int i=1;i<=n;i++)
 71     {
 72         while(a[st[top]]>=a[i]){L[st[top]]=st[top-1]+1;R[st[top]]=i-1;top--;}
 73         st[++top]=i;
 74     }
 75     while(top){L[st[top]]=st[top-1]+1;R[st[top]]=n;top--;}
 76     for(int i=1;i<=n;i++)
 77     {
 78         if(L[i]<=R[i])
 79         {
 80             data[++tt].w=a[i];data[tt].l=L[i];data[tt].r=i;data[tt].ps=i;data[tt].dd=1;
 81             data[++tt].w=a[i];data[tt].l=L[i];data[tt].r=i;data[tt].ps=R[i]+1;data[tt].dd=-1;
 82         }
 83     }
 84     sort(data+1,data+tt+1,cmp1);
 85     for(int i=1;i<=m;i++)
 86     {
 87         l=read();r=read();
 88         op[++tot].id=i;op[tot].l=l;op[tot].r=r;op[tot].ps=r;op[tot].dd=1;
 89         op[++tot].id=i;op[tot].l=l;op[tot].r=r;op[tot].ps=l-1;op[tot].dd=-1;
 90     }
 91     sort(op+1,op+tot+1,cmp2);int j=1;
 92     for(int i=1;i<=tot;i++)
 93     {
 94         while((data[j].ps<=op[i].ps)&&(j<=tt))
 95         {
 96             long long now=data[j].ps;long long w=now*(long long)data[j].w;
 97             INS(1,1,n,data[j].l,data[j].r,w*data[j].dd);
 98             ins(1,1,n,data[j].l,data[j].r,data[j].w*data[j].dd);
 99             j++;
100         }
101         long long w;
102         w=ask(1,1,n,op[i].l,op[i].r)*(long long)(op[i].ps+1);
103         w=w-ASK(1,1,n,op[i].l,op[i].r);
104         ans[op[i].id]+=w*op[i].dd;
105     }
106     for(int i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",ans[i]);
107     return 0;
108 }

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