背包问题(Knapsack problem)：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？

基本思路

       这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

       用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i] }。

       这个方程非常重要，“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

public class Knapsack
{
    public static void knapsack(int[] v, int[] w, int c, int[][] m)
    {
        /** v[] w[] c 分别是价值、重量、和背包容量数组
        m[i][j]表示有i~n个物品，背包容量为j的最大价值。*/

        int n = v.length-1;
        int jMax = Math.min(w[n]-1, c);
        for(int j = 0; j <= jMax; j++)  
            m[n][j] = 0;        //当w[n]>j 有 m[n][j]=0

        //m[n][j] 表示只有n物品，背包的容量为j时的最大价值
        for (int l = w[n]; l <= c; l++)
            m[n][l] = v[n];  //当w[n]<=j 有m[n][j]=v[n]

        //递规调用求出m[][]其它值，直到求出m[0][c]
        for(int i = n-1; i >=1; i--)
        {
            jMax = Math.min(w[i]-1,c);            
            for(int k = 0; k <=jMax; k++)
                m[i][k] = m[i+1][k];
                      
            for(int h = w[i]; h <= c; h++)
                m[i][h] = Math.max(m[i+1][h],m[i+1][h-w[i]]+v[i]);
        }
        m[0][c] = m[1][c];
        if(c >= w[0])
            m[0][c] = Math.max(m[0][c],m[1][c-w[0]]+v[0]);

        System.out.println("bestw ="+m[0][c]);
    }
         
    public static void traceback(int[][] m, int[] w, int c, int[] x)
    {// 根据最优值求出最优解
        int n = w.length-1;
        for(int i = 0; i<n;i++)
            if(m[i][c] == m[i+1][c])
                x[i] = 0;
            else{
                x[i] = 1;
                c -= w[i];
            }
        x[n] = (m[n][c]>0)?1:0;
    }
    public static void main(String[] args)
    {
        //测试
        int[] ww = {2,2,6,5,4};
        int[] vv = {6,3,5,4,6};
        int[][] mm = new int[11][11];
        knapsack(vv,ww,10,mm);

        int[] xx =new int[ww.length];
        traceback(mm,ww,10,xx);
        for(int i = 0;i<xx.length;i++)
            System.out.println(xx[i]);
    }
}

测试结果：bestw=15      1 1 0 0 1

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0-1背包问题（DP）