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BZOJ 4873 寿司餐厅（最大权闭合图 网络流）
寿司餐厅
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题目描述
Kiana 最近喜欢到一家非常美味的寿司餐厅用餐。
每天晚上，这家餐厅都会按顺序提供n种寿司，第i种寿司有一个代号 ai和美味度 di,i，不同种类的寿司有可能使用相同的代号。每种寿司的份数都是无限的，Kiana 也可以无限次取寿司来吃，但每种寿司每次只能取一份，且每次取走的寿司必须是按餐厅提供寿司的顺序连续的一段，即 Kiana 可以一次取走第 1,2种寿司各一份，也可以一次取走第 2,3种寿司各一份，但不可以一次取走第 1,3种寿司。
由于餐厅提供的寿司种类繁多，而不同种类的寿司之间相互会有影响：三文鱼寿司和鱿鱼寿司一起吃或许会很棒，但和水果寿司一起吃就可能会肚子痛。因此，Kiana 定义了一个综合美味度 di,j (i<j)，表示在一次取的寿司中，如果包含了餐厅提供的从第i份到第j份的所有寿司，吃掉这次取的所有寿司后将获得的额外美味度。由于取寿司需要花费一些时间，所以我们认为分两次取来的寿司之间相互不会影响。注意在吃一次取的寿司时，不止一个综合美味度会被累加，比如若 Kiana 一次取走了第 1,2,3种寿司各一份，除了 d1,3以外，d1,2,d2,3也会被累加进总美味度中。
神奇的是，Kiana 的美食评判标准是有记忆性的，无论是单种寿司的美味度，还是多种寿司组合起来的综合美味度，在计入 Kiana 的总美味度时都只会被累加一次。比如，若 Kiana 某一次取走了第 1,2种寿司各一份，另一次取走了第 2,3种寿司各一份，那么这两次取寿司的总美味度为 d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3，其中 d2,2只会计算一次。
奇怪的是，这家寿司餐厅的收费标准很不同寻常。具体来说，如果 Kiana 一共吃过了 c (c>0)种代号为x的寿司，则她需要为这些寿司付出 mx2+cx元钱，其中m是餐厅给出的一个常数。
现在 Kiana 想知道，在这家餐厅吃寿司，自己能获得的总美味度（包括所有吃掉的单种寿司的美味度和所有被累加的综合美味度）减去花费的总钱数的最大值是多少。由于她不会算，所以希望由你告诉她。
每天晚上，这家餐厅都会按顺序提供n种寿司，第i种寿司有一个代号 ai和美味度 di,i，不同种类的寿司有可能使用相同的代号。每种寿司的份数都是无限的，Kiana 也可以无限次取寿司来吃，但每种寿司每次只能取一份，且每次取走的寿司必须是按餐厅提供寿司的顺序连续的一段，即 Kiana 可以一次取走第 1,2种寿司各一份，也可以一次取走第 2,3种寿司各一份，但不可以一次取走第 1,3种寿司。
由于餐厅提供的寿司种类繁多，而不同种类的寿司之间相互会有影响：三文鱼寿司和鱿鱼寿司一起吃或许会很棒，但和水果寿司一起吃就可能会肚子痛。因此，Kiana 定义了一个综合美味度 di,j (i<j)，表示在一次取的寿司中，如果包含了餐厅提供的从第i份到第j份的所有寿司，吃掉这次取的所有寿司后将获得的额外美味度。由于取寿司需要花费一些时间，所以我们认为分两次取来的寿司之间相互不会影响。注意在吃一次取的寿司时，不止一个综合美味度会被累加，比如若 Kiana 一次取走了第 1,2,3种寿司各一份，除了 d1,3以外，d1,2,d2,3也会被累加进总美味度中。
神奇的是，Kiana 的美食评判标准是有记忆性的，无论是单种寿司的美味度，还是多种寿司组合起来的综合美味度，在计入 Kiana 的总美味度时都只会被累加一次。比如，若 Kiana 某一次取走了第 1,2种寿司各一份，另一次取走了第 2,3种寿司各一份，那么这两次取寿司的总美味度为 d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3，其中 d2,2只会计算一次。
奇怪的是，这家寿司餐厅的收费标准很不同寻常。具体来说，如果 Kiana 一共吃过了 c (c>0)种代号为x的寿司，则她需要为这些寿司付出 mx2+cx元钱，其中m是餐厅给出的一个常数。
现在 Kiana 想知道，在这家餐厅吃寿司，自己能获得的总美味度（包括所有吃掉的单种寿司的美味度和所有被累加的综合美味度）减去花费的总钱数的最大值是多少。由于她不会算，所以希望由你告诉她。
输入
第一行包含两个正整数 n,m，分别表示这家餐厅提供的寿司总数和计算寿司价格中使用的常数。
第二行包含n个正整数，其中第k个数 ak表示第k份寿司的代号。
接下来n行，第i行包含 n−i+1个整数，其中第j个数 di,i+j−1表示吃掉寿司能获得的相应的美味度，具体含义见问题描述。
第二行包含n个正整数，其中第k个数 ak表示第k份寿司的代号。
接下来n行，第i行包含 n−i+1个整数，其中第j个数 di,i+j−1表示吃掉寿司能获得的相应的美味度，具体含义见问题描述。
输出
输出共一行包含一个正整数，表示 Kiana 能获得的总美味度减去花费的总钱数的最大值。
样例输入
3 12 3 25 -10 15-10 1515样例输出
12提示
对于所有数据，保证 −500≤di,j≤500。
【题意】有n种寿司，每一种有无数个，每种寿司编号在有个编号，编号可能相同，现在吃寿司，你可以按照1~k在其中取一段连续的顺序吃，有一个额外美味 度，单独吃也有单独的美味度，每一种编号x的寿司吃完耗费m*x*x,问美味度-耗费最大值。
【分析】最大权闭合子图，指的是对于一张有向图，每个顶点都有一个权值，可正可负。有u->v，当你选择了u就必须选择v，现在要选择一些顶点，使得所得的权值最大。做法就是网络流，源点向所有正权值连边，边容量为顶点权值，所有负权值向汇点连边，边容量为权值的绝对值，，原图中边的容量为inf。跑网络流求最小割，然后答案为正权值之和-最小割。
对于出题人的数据，我们可以换个姿势来看：
5 -10 15
-10 15
15
可以看出每次选择都是一个直角三角形。
那么对于每个点(i,j) (j>i)，如果它被选择，那么点(i,j-1)和点(i+1,j)也一定被选择，以此类推。
根据这个来建一个点权图。
对于点(i,j) (j>i)，点权为d[i][j]，并向点(i,j-1)和点(i+1,j)连边。
对于点(i,i)，点权为d[i][i]-a[i]，即收益减去费用，并向编号a[i]连边。
对于编号p，点权为-m*p*p。
所求为最大权闭合图，所以转化为网络流最小割来求。
具体建图方法不用像上面说的先建点权图，直接建立网络图即可
#include <bits/stdc++.h>#define inf 0x3f3f3f3f#define met(a,b) memset(a,b,sizeof a)#define pb push_back#define mp make_pair#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e5+50;const int mod = 1e9+7;const double pi= acos(-1.0);typedef pair<int,int>pii;int n,m,k,f;int a[150],d[150][150],An=1000;int num[150][150],cnt,ans;struct Edge{ int from,to,cap,flow; Edge(int u,int v,int c,int f):from(u),to(v),cap(c),flow(f){}};struct Dinic{ int s,t; vector<Edge>edges; vector<int> G[N]; bool vis[N]; int d[N]; int cur[N]; void init(){ for (int i=0;i<=n+1;i++) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from,int to,int cap){ edges.push_back(Edge(from,to,cap,0)); edges.push_back(Edge(to,from,0,0)); int mm=edges.size(); G[from].push_back(mm-2); G[to].push_back(mm-1); } bool BFS(){ memset(vis,0,sizeof(vis)); queue<int>q; q.push(s); d[s]=0; vis[s]=1; while (!q.empty()){ int x = q.front();q.pop(); for (int i = 0;i<G[x].size();i++){ Edge &e = edges[G[x][i]]; if (!vis[e.to] && e.cap > e.flow){ vis[e.to]=1; d[e.to] = d[x]+1; q.push(e.to); } } } return vis[t]; } int DFS(int x,int a){ if (x==t || a==0) return a; int flow = 0,f; for(int &i=cur[x];i<G[x].size();i++){ Edge &e = edges[G[x][i]]; if (d[x]+1 == d[e.to] && (f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){ e.flow+=f; edges[G[x][i]^1].flow-=f; flow+=f; a-=f; if (a==0) break; } } return flow; } int Maxflow(int s,int t){ this->s=s; this->t=t; int flow = 0; while (BFS()){ memset(cur,0,sizeof(cur)); flow+=DFS(s,inf); } return flow; }}dc;int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); int S=0,T=1e5; dc.init(); for(int i=1;i<=An;i++){ dc.AddEdge(i,T,m*i*i); } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=i;j<=n;j++){ scanf("%d",&d[i][j]); num[i][j]=An+(++cnt); } } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=i;j<=n;j++){ if(i==j){ d[i][j]-=a[i]; dc.AddEdge(num[i][i],a[i],inf); } else{ dc.AddEdge(num[i][j],num[i][j-1],inf); dc.AddEdge(num[i][j],num[i+1][j],inf); } if(d[i][j]<0){ dc.AddEdge(num[i][j],T,-d[i][j]); } else { dc.AddEdge(S,num[i][j],d[i][j]); ans+=d[i][j]; } } } printf("%d\n",ans-dc.Maxflow(S,T)); return 0;}
BZOJ 4873 寿司餐厅（最大权闭合图 网络流）
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