MIT 线性代数课程中讲过的矩阵分解有很多种，但是据我所知最重要的应该是SVD分解了，假如现在想把行空间的正交基通过A左乘的方法变换到列空间的正交基，既有：

需要说明的一点是，我们可以轻易得到行空间的正交基，但是并不是所有的A都能满足变换过去后还是正交基的条件，所以，这个A需要满足条件，或者说A和U,V需要满足一定的关系。将上式左右两边都乘以V的转置，就可以得到矩阵奇异值分解的公式，SVD的分解式子如下：

假如原来X是n*m的矩阵，那么U一般是n*r，sigma一般是r*r，V一般是m*r。

当r=Rank(X)的时候，是准确的分解，当r<Rank(X)的时候，是近似分解。

一般来说，sigma是一个对角矩阵，且对角线元素是方阵和方阵特征值的正平方根，且按照降序排放。

可以发现，V的每列都是的特征向量，U的每列都是的特征向量，他们分别都是按照特征值下降的顺序排放。

SVD能解决哪些问题呢？第一就是解决PCA，可以发现

这个式子左边的矩阵，其实就是X这个数据集(已经预处理，均值为0)协方差矩阵（设为M）的前K个特征值所对应的特征向量转置排列后而成。易得=m*M（m是数据个数），那么与M所对应特征向量是相同的，如果奇异值分解也取近似（取r=k<Rank(X)),只需要用SVD分解后的乘以X就能得到主成分分析的X‘。

矩阵的奇异值分解（SVD）