对称阵A

相应的，其对应的映射也分解为三个映射。现在假设有x向量，用Ａ将其变换到Ａ的列空间中，那么首先由U‘先对x做变换：

由于正交阵“ U的逆=U‘ ”，对于两个空间来讲，新空间下的“ 基E‘ 坐标 x‘ ,原空间E 坐标x ”有如下关系

　　　　EX=E‘X‘ ===>

　　　　X=E‘X‘ ===>

　　　　X‘=(E‘的逆)x ==>

　　　　x向量在新的“基”下的新坐标  (E的转置)X；

1、那么对于上式U^Tx先可以理解为：将x用A的所有特征向量表示为：

则通过第一个变换就可以把x表示为[a1 a2 ... am]‘：

2、紧接着，在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩：

如果A不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在0，这时候就会导致维度退化，这样就会使映射后的向量落入m维空间的子空间中（塌缩的概念）。

3、最后一步U[]，相当于将X按照A的空间下变化过后，在转回原坐标系表示！

那么对于SVD分解中，

正交基v选择为A‘A的特征向量的，由于A‘A是对称阵，v之间两两正交，

对v1，v2，...，vk进行扩展v(k+1),...,vn（这n-k个向量存在于A的零空间中，即Ax=0的解空间的基），使得v1，v2，...，vn为n维空间中的一组正交基，即

当k < i <= m时，对u1，u2，...，uk进行扩展u(k+1),...,um，使得u1，u2，...，um为m维空间中的一组正交基，即

A矩阵的奇异值分解：

AX=UEV^Tx,,,按照同上的理解，首先对x坐标转换，然后做对应效果的拉伸，

不过这里在一个A的作用下应该没有A^TA的效果厉害所以只有sqrt作为对角元素，然后在使用U将表示转变回来！

参考：http://blog.csdn.net/zhongkejingwang/article/details/43053513

SVD分解的理解