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[NOIP2012] 开车旅行

【题目描述】

小A 和小B决定利用假期外出旅行,他们将想去的城市从1到N 编号,且编号较小的城市在编号较大的城市的西边,已知各个城市的海拔高度互不相同,记城市 i的海拔高度为Hi,城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值,即d[i, j] = |Hi ? Hj|。

旅行过程中,小A 和小B轮流开车,第一天小A 开车,之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市 S 作为起点,一直向东行驶,并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小B的驾驶风格不同,小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地,而小 A 总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地(注意:本题中如果当前城市到两个城市的距离相同,则认为离海拔低的那个城市更近)。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市,或者到达目的地会使行驶的总距离超出X公里,他们就会结束旅行。

在启程之前,小A 想知道两个问题:

1.对于一个给定的 X=X0,从哪一个城市出发,小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小(如果小 B的行驶路程为0,此时的比值可视为无穷大,且两个无穷大视为相等)。如果从多个城市出发,小A 开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值都最小,则输出海拔最高的那个城市。

2.对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si,小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程总数。

【输入格式】

第一行包含一个整数 N,表示城市的数目。

第二行有 N 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,依次表示城市 1 到城市 N 的海拔高度,即H1,H2,……,Hn,且每个Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M,表示给定M组Si和 Xi。

接下来的M行,每行包含2个整数Si和Xi,表示从城市 Si出发,最多行驶Xi公里。

【输出格式】

输出共M+1 行。

第一行包含一个整数S0,表示对于给定的X0,从编号为S0的城市出发,小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行,每行包含 2 个整数,之间用一个空格隔开,依次表示在给定的 Si和Xi下小A行驶的里程总数和小B 行驶的里程总数。

【样例输入 1】

4
2 3 1 4
3
4
1 3
2 3
3 3
4 3

【样例输出 1】

1
1 1
2 0
0 0
0 0

【输入输出样例 1 说明】

技术分享

各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。

如果从城市1出发, 可以到达的城市为2,3,4,这几个城市与城市 1的距离分别为 1,1,2,但是由于城市3的海拔高度低于城市 2,所以我们认为城市 3离城市 1最近,城市 2离城市1 第二近,所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后,前面可以到达的城市为 3,4,这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1,所以城市 4离城市 2最近,因此小 B 会走到城市 4。到达城市4后,前面已没有可到达的城市,所以旅行结束。

如果从城市2出发,可以到达的城市为3,4,这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1,由于城市3离城市2第二近,所以小A会走到城市 3。到达城市3后,前面尚未旅行的城市为4,所以城市 4 离城市 3 最近,但是如果要到达城市 4,则总路程为 2+3=5>3,所以小 B 会直接在城市3结束旅行。

如果从城市3出发,可以到达的城市为4,由于没有离城市3 第二近的城市,因此旅行还未开始就结束了。

如果从城市4出发,没有可以到达的城市,因此旅行还未开始就结束了。

【样例输入 2】

10
4 5 6 1 2 3 7 8 9 10
7
10
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
7 7
8 7
9 7
10 7

【样例输出 2】

2
3 2
2 4
2 1
2 4
5 1
5 1
2 1
2 0
0 0
0 0

【输入输出样例 2 说明】

当 X=7时,

如果从城市1出发,则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9,小A 走的距离为1+2=3,小B走的距离为 1+1=2。(在城市 1 时,距离小 A 最近的城市是 2 和 6,但是城市 2 的海拔更高,视为与城市1第二近的城市,所以小A 最终选择城市 2;走到9后,小A只有城市10 可以走,没有第2选择可以选,所以没法做出选择,结束旅行)

如果从城市2出发,则路线为 2 -> 6 -> 7  ,小A 和小B走的距离分别为 2,4。

如果从城市3出发,则路线为 3 -> 8 -> 9,小A和小B走的距离分别为 2,1。

如果从城市4出发,则路线为 4 -> 6 -> 7,小A和小B走的距离分别为 2,4。

如果从城市5出发,则路线为 5 -> 7 -> 8  ,小A 和小B走的距离分别为 5,1。

如果从城市6出发,则路线为 6 -> 8 -> 9,小A和小B走的距离分别为 5,1。

如果从城市7出发,则路线为 7 -> 9 -> 10,小A 和小B走的距离分别为 2,1。

如果从城市8出发,则路线为 8 -> 10,小A 和小B走的距离分别为2,0。

如果从城市 9 出发,则路线为 9,小 A 和小 B 走的距离分别为 0,0(旅行一开始就结束了)。

如果从城市10出发,则路线为 10,小A 和小B 走的距离分别为0,0。

从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小,但是城市2的海拔更高,所以输出第一行为2。

【数据范围】

对于30%的数据,有1≤N≤20,1≤M≤20;

对于40%的数据,有1≤N≤100,1≤M≤100;

对于50%的数据,有1≤N≤100,1≤M≤1,000;

对于70%的数据,有1≤N≤1,000,1≤M≤10,000;

对于100%的数据,有1≤N≤100,000, 1≤M≤10,000, -1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000,0≤X0≤1,000,000,000,1≤Si≤N,0≤Xi≤1,000,000,000,数据保证Hi互不相同。  

思路{

  70分的做法是暴力连边模拟。所以要有优化。

  连边的话,很容易想到用Splay搞一搞。

  关键是把查询路径的复杂度降下来。

  由于是静态,考虑倍增,优化至O(nlogn);

}

  1 #include<algorithm>
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cstdio>
  5 #include<vector>
  6 #include<queue>
  7 #include<ctime>
  8 #include<cmath>
  9 #include<list>
 10 #include<deque>
 11 #include<stack>
 12 #include<map>
 13 #include<set>
 14 #define RG register
 15 #define LL long long
 16 #define dd double
 17 #define maxx 100010
 18 #define Inf 9999999999
 19 #define rs(x) (ch[x][1])
 20 #define ls(x) (ch[x][0])
 21 using namespace std;
 22 LL n;
 23 LL f[maxx][28][2],g[maxx][28];
 24 LL h[maxx];
 25 LL e[maxx][2],ch[maxx][2],pos[maxx],fa[maxx],v[maxx],tot,rt,que[9];
 26 dd dis[maxx];
 27 LL ansa,ansb;
 28 inline LL d(LL xx,LL yy) {
 29     return abs(h[xx]-h[yy]);
 30 }
 31 void make() {
 32     for(LL i=1; i<=n; ++i) {
 33         g[i][0]=e[e[i][1]][0],
 34                 f[i][0][0]=d(e[i][1],i),
 35                            f[i][0][1]=d(e[e[i][1]][0],e[i][1]);
 36     }
 37     for(int j=1; j<=20; ++j)
 38         for(LL i=1; i<=n; ++i)
 39             g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1],
 40                     f[i][j][0]=f[i][j-1][0]+f[g[i][j-1]][j-1][0],
 41                                f[i][j][1]=f[i][j-1][1]+f[g[i][j-1]][j-1][1];
 42 }
 43 void spfa(LL s,LL sum) {
 44     for(int k=20; k!=-1; k--)
 45         if(f[s][k][1]+f[s][k][0]<=sum&&g[s][k]) {
 46             ansa+=f[s][k][0];
 47             ansb+=f[s][k][1];
 48             sum-=f[s][k][0]+f[s][k][1];
 49             s=g[s][k];
 50         }
 51     if(e[s][1]&&d(e[s][1],s)<=sum)ansa+=d(e[s][1],s);
 52 }
 53 LL i;
 54 void Rotate(LL x,LL kind) {
 55     int y=fa[x],z=fa[y];
 56     ch[y][!kind]=ch[x][kind];
 57     fa[ch[x][kind]]=y;
 58     if(z)ch[z][ch[z][1]==y]=x;
 59     fa[x]=z,fa[y]=x,ch[x][kind]=y;
 60 }
 61 void Splay(LL x,LL goal) {
 62     while(fa[x]) {
 63         if(fa[fa[x]]==goal)Rotate(x,ch[fa[x]][0]==x);
 64         else {
 65             LL y=fa[x];
 66             LL kind=ch[fa[y]][0]==y;
 67             if(ch[y][kind]==x)Rotate(x,!kind),Rotate(x,kind);
 68             else Rotate(y,kind),Rotate(x,kind);
 69         }
 70     }
 71     if(!goal)rt=x;
 72 }
 73 void Insert(LL p,LL V) {
 74     LL now=rt;
 75     if(!now) {
 76         rt=++tot;
 77         pos[tot]=p,v[tot]=V;
 78         return;
 79     }
 80     while(1) {
 81         if(ch[now][v[now]<V])now=ch[now][v[now]<V];
 82         else {
 83             ch[now][v[now]<V]=++tot;
 84             fa[tot]=now,v[tot]=V,pos[tot]=p;
 85             Splay(tot,0);
 86             return;
 87         }
 88     }
 89 }
 90 LL pre(LL x) {
 91     Splay(x,0);
 92     LL now=ch[rt][0];
 93     while(ch[now][1])now=ch[now][1];
 94     return now;
 95 }
 96 LL nxt(LL x) {
 97     Splay(x,0);
 98     LL now=ch[rt][1];
 99     while(ch[now][0])now=ch[now][0];
100     return now;
101 }
102 bool comp(const LL &a,const LL &b) {
103     if(d(i,a)==d(i,b))return h[a]<h[b];
104     else return d(a,i)<d(b,i);
105 }
106 int main() {
107     freopen("drive.in","r",stdin);
108     freopen("drive.out","w",stdout);
109     scanf("%lld",&n);
110     for(i=1; i<=n; ++i)scanf("%lld",&h[i]);
111     Insert(n,h[n]);
112     for(i=n-1; i; --i) {
113         Insert(i,h[i]);
114         LL p=pre(rt),N=nxt(rt);
115         LL pp=0,NN=0;
116         if(p)pp=pre(p);
117         if(N)NN=nxt(N);
118         p=pos[p],N=pos[N],pp=pos[pp],NN=pos[NN];
119         memset(que,0,sizeof(que));
120         if(p&&p!=i)que[++que[0]]=p;
121         if(N&&N!=i)que[++que[0]]=N;
122         if(NN&&NN!=i&&NN!=N&&NN!=pp&&NN!=p)que[++que[0]]=NN;
123         if(pp&&pp!=i&&pp!=p&NN!=pp&&N!=pp)que[++que[0]]=pp;
124         sort(que+1,que+que[0]+1,comp);
125         e[i][0]=que[1];
126         if(que[2])e[i][1]=que[2];
127         if(i==n-1)e[i][1]=0;
128     }
129     LL X0;
130     scanf("%lld",&X0);
131     LL ans=0;
132     dis[0]=Inf;
133     make();
134     for(i=1; i<=n; ++i) {
135         ansa=0,ansb=0,spfa(i,X0);
136         if(!ansb)dis[i]=Inf;
137         else dis[i]=(dd)ansa/ansb;
138         if(dis[i]<dis[ans])ans=i;
139         else if(dis[i]==dis[ans]&&h[i]>h[ans])ans=i;
140     }
141     printf("%lld\n",ans);
142     LL M;
143     scanf("%lld",&M);
144     for(i=1; i<=M; ++i) {
145         LL s,x;
146         scanf("%lld%lld",&s,&x),ansa=ansb=0;
147         spfa(s,x);
148         printf("%lld %lld\n",ansa,ansb);
149     }
150     return 0;
151 }

 

[NOIP2012] 开车旅行