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最小生成树个数 并查集压缩路径

2024-09-27 13:41:39   220人阅读

1016: [JSOI2008]最小生成树计数

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Description

　　现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的
最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生
成树可能很多，所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。

Input

　　第一行包含两个数，n和m，其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整
数编号。接下来的m行，每行包含两个整数：a, b, c，表示节点a, b之间的边的权值为c，其中1<=c<=1,000,000,0
00。数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过10条。

Output

　　输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。

Sample Input

4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1

Sample Output

8
显然最小生成树有多种 ，那么关键就是在权值相同的边上了 ，那么不妨排序后用一个结构体划分权值相同的边的左右界限，而后记录其联通的个数，那么就可以去进行一次深搜了 ，对于权值相同的一组边，其边可以选择不连或者连，如果连的话要保证将要进行联通的两个点不在一个连通块中，因为树的话不能有环啊。 而后sum++的条件也比较好判断，做完这组边的最后一个，并且联通的个数等于记录的个数，就可以了。详细些的证明见文底
 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=31011;
int fa[108],tot=0,cnt=0,sum,ans=1;
struct Edge{int u,v,w;}e[1108];
struct Seg{int l,r,cont;}s[1108];
bool cmp(const Edge &a,const Edge &b) {return a.w<b.w;}
int findx(int x){return x==fa[x]?x:findx(fa[x]);}     //普通版
int findy(int y){return fa[y]=(y==fa[y]?y:findy(fa[y]));}   //压缩路径版
void dfs(int pos,int now,int k){
    if(now==s[pos].r+1) {
        if(k==s[pos].cont) ++sum;
        return;
    }
    int u=findx(e[now].u),v=findx(e[now].v);   //这里必须用普通版，因为压缩路径会导致回溯的时候出现父节点指向错误比如fa[1]=4,fa[2]=4,然后此时要连接3,4那么fa[4]=fa[1]=fa[2]=3 ，而回溯撤边的时候，fa[1],fa[2]的父节点本应为4,但由于压缩路径其为3.
    if(u!=v){
        fa[u]=v;
        dfs(pos,now+1,k+1);
        fa[u]=u;fa[v]=v;
    }
    dfs(pos,now+1,k);
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
    for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        if(e[i].w!=e[i-1].w) {s[++tot].l=i;s[tot-1].r=i-1;}
        int u=findy(e[i].u),v=findy(e[i].v);
        if(u!=v) {fa[u]=v;++s[tot].cont;++cnt;}
    }
    s[tot].r=m;
    if(cnt!=n-1) {puts("0");return 0;}
    for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        sum=0;
        dfs(i,s[i].l,0);
       ans=(ans*sum)%mod;
       for(int j=s[i].l;j<=s[i].r;++j) {
        int u=findy(e[j].u),v=findy(e[j].v);
        fa[u]=v;
       }
    }
    printf("%d\n",ans);
}
 
 
思路来源 https://blog.sengxian.com/solutions/bzoj-1016    http://hzwer.com/3005.html

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