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bnuoj 34985 Elegant String
题目链接：http://acm.bnu.edu.cn/bnuoj/problem_show.php?pid=34985
We define a kind of strings as elegant string: among all the substrings of an elegant string, none of them is a permutation of "0, 1,…, k".
Let function(n, k) be the number of elegant strings of length n which only contains digits from 0 to k (inclusive). Please calculate function(n, k).
INPUT
Input starts with an integer T (T ≤ 400), denoting the number of test cases.
Each case contains two integers, n and k. n (1 ≤ n ≤ 1018) represents the length of the strings, and k (1 ≤ k ≤ 9) represents the biggest digit in the string
2
1 1
7 6
OUTPUT
For each case, first output the case number as "Case #x: ", and x is the case number. Then output function(n, k) mod 20140518 in this case.
Case #1: 2
Case #2: 818503
source:2014 ACM-ICPC Beijing Invitational Programming Contest
题意：首先定义一个串elegant string：在这个串里的任何子串都没有包括0～k的一个全排列，现在给出n和k，要求求出长度为n的elegant string的个数。
解法：DP+矩阵快速幂。我们先用DP推出递推公式，然后用矩阵快速幂解决这个公式。具体思想如下：
定义DP数组：dp[12][12]（dp[i][j]表示长度为 i 时字符串末尾连续有 j 个不同数字，例：1233末尾只有一个数字3，2234末尾有3个：2，3，4）。
以第二组数据为例：n=7 k=6
初始化：dp[1][1]=k+1，dp[1][2,,,k]=0;
dp[i+1][1]=dp[i][1]+dp[i][2]+dp[i][3]+dp[i][4]+dp[i][5]+dp[i][6]
dp[i+1][2]=6*dp[i][1]+dp[i][2]+dp[i][3]+dp[i][4]+dp[i][5]+dp[i][6]
dp[i+1][3]=5*dp[i][2]+dp[i][3]+dp[i][4]+dp[i][5]+dp[i][6]
dp[i+1][4]=4*dp[i][3]+dp[i][4]+dp[i][5]+dp[i][6]
dp[i+1][5]=3*dp[i][4]+dp[i][5]+dp[i][6]
dp[i+1][6]=2*dp[i][5]+dp[i][6]
把递推式改为如下矩阵：
然后我们就可以用快速幂来解决了
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cmath> 6 #include<algorithm> 7 #define inf 0x7fffffff 8 using namespace std; 9 typedef long long ll;10 const int maxn=12;11 const ll mod=20140518;12 13 ll n,k;14 struct matrix15 {16 ll an[maxn][maxn];17 }A,B;18 matrix multiply(matrix x,matrix y)19 {20 matrix sum;21 memset(sum.an,0,sizeof(sum.an));22 for (int i=1 ;i<=k ;i++)23 {24 for (int j=1 ;j<=k ;j++)25 {26 for (int k2=1 ;k2<=k ;k2++) {27 sum.an[i][j]=(sum.an[i][j]+x.an[i][k2]*y.an[k2][j]%mod);28 if (sum.an[i][j]>=mod) sum.an[i][j] -= mod;29 }30 }31 }32 return sum;33 }34 matrix power(ll K,matrix q)35 {36 matrix temp;37 for (int i=1 ;i<=k ;i++)38 {39 for (int j=1 ;j<=k ;j++)40 temp.an[i][j]= i==j ;41 }42 while (K)43 {44 if (K&1) temp=multiply(temp,q);45 q=multiply(q,q);46 K >>= 1;47 }48 return temp;49 }50 int main()51 {52 int t,ncase=1;53 scanf("%d",&t);54 while (t--)55 {56 scanf("%lld%lld",&n,&k);57 if (n==1)58 {59 printf("Case #%d: %d\n",ncase++,k+1);continue;60 }61 matrix q;62 for (int i=1 ;i<=k ;i++)63 {64 for (int j=1 ;j<=k ;j++)65 {66 if (j>=i) q.an[i][j]=(ll)1;67 else if (j==i-1) q.an[i][j]=(ll)(k+2-i);68 else q.an[i][j]=(ll)0;69 }70 }71 q=power(n-1,q);72 // for (int i=1 ;i<=k ;i++)73 // {74 // for (int j=1 ;j<=k ;j++)75 // cout<<q.an[i][j]<<" ";76 // cout<<endl;77 // }78 ll ans=0;79 for (int i=1 ;i<=k ;i++)80 {81 ans=(ans+(ll)q.an[i][1]*(ll)(k+1))%mod;82 }83 printf("Case #%d: %lld\n",ncase++,ans);84 }85 return 0;86 }
后续：感谢提出宝贵的意见。。。。
bnuoj 34985 Elegant String
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