行列式的实质

引用自童哲的回答

1，行列式是针对一个的矩阵而言的。表示一个维空间到维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体。

2，原来立方体有一个体积，新的立方体也有一个体积。

3，行列式是一个数对不对？这个数其实就是 ，结束了。

就这么简单？没错，就这么简单。



所以说：行列式的本质就是一句话：

行列式就是线性变换的放大率！




理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：



道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！



你先进行一个变换，再进行一个变换，放大两次的放大率，就是式子左边。
你把“先进行变换，再进行变换”定义作一个新的变换，叫做“”，新变换的放大律就是式子右边。

然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：

“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”



翻译成线性代数的表达就是：







这还不够！我来解锁新的体验哈~

上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：


那么很自然，你很轻松就理解了：


so easy，因为




同时你也必须很快能理解了

“矩阵可逆” 完全等价于 “”

因为再自然不过了啊，试想是什么意思呢？不就是线性变换把之前说的维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

请注意我们这里说的体积都是针对维空间而言的， 就表示新的立方体在 维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是的矩阵都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。



当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：

由

可知

这怎么可能啊~？ 了，那么等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 不存在。所以自然不可逆。