来源 | 世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛组委会

1、三门问题（蒙提霍尔问题） 

假如你正在参加一个节目。主持人给了你三扇门，其中一扇门里面是一款崭新的汽车，另外两扇门里面都是一只羊。你选择了其中一扇，然后，主持人打开你未选的另外两扇门里是羊的那一扇，然后——

主持人问你：你是否要换一扇门？还是就要你刚才选的那一扇？

你会怎么做？

你第一反应一定是就要你刚才选的那一扇。

到目前为止，一切都没有问题，对吧？

因为现在只有两扇门了，你可以推断出，有一半的机会赢得那辆车。对吗？

你错了？？

这个游戏的最佳策略就是“换门”，每次都换。

如果你每次都换，只有当你第一次选的那扇门里就是车的时候你才会输。

因为你第一次选中车的几率是1/3，而每次都换你输掉的几率也是1/3。

这就意味着，如果你每次都换的话，赢得几率就有2/3。

换门赢的几率是不换门赢的几率的两倍。

还不信吗？这么说吧，假如你选的是一号门，请看下面所有可能发生的情况：

如果你不换门，三种情况只有一种情况能赢；如果换门，就有两种情况能赢。

你还不信？

那我们换成50扇门再做一遍。你不选一号门。

我把其他是羊的48扇门都亮给你。对你的选择还那么有信心吗？别忘了：你第一次选对的机会只有1/50。道理完全是一样的。

2、0.999...=1

无限循环小数0.999...等于1。

有许多的证法都可以证明这个等式，但仍然有很多的人纠结这个概念，下面就是一个很好的正面：

x=0.999...

10x=9.999...

10x-x=9.999...-0.999...

9x=9

x=1

很多人纠结这个理念的原因，是我们人类的思维很难去理解“无限”这个概念。在某种层面上，大多数人只是想象最终总会以一个“9”结束。

数字这东西总是换种方式表达就会看起来不大一样，当然这个也不例外。

这其中的原因是和“无限”与“有限”的概念紧密关联的，光这些就够我们大伤脑筋的了。

下面是另外一种证法：

1/3=0.333...

3×1/3=3×0.333...

1=0.999...

3、偶数和自然数一样多

偶数和自然数一样多。

表示事物个数的数叫做自然数，如1,2,3,4等等。

自然数的数量是无限的。偶数的数量也是无限的。

你或许会想象自然数要比偶数多，因为自然数由奇数和偶数组成。

那你就错了。

我们可以在自然数和偶数之间建立一个一对一的对应关联式，这个关联式将告诉你，每个自然数都有一个与其对应的偶数。

我们可以这样想：每个自然数都有一个等于它两倍的偶数，而每个偶数也都有一个等于它一半的自然数：

1<---->2

2<---->4

3<---->6

4<---->8

5<---->10

6<---->12

7<---->14

8<---->16

这是什么意思呢？

就是说，每一个自然数，都有一个与之对应的偶数。

这就是说，这两个无限集的大小是相等的，我们称之为“可数无限集”

这就将其与“不可数无限集”如“实数集”或“复数集

”区分开了。

例如，我们不能再自然数和实数之间建立一个一对一的对应关联式。

其他的可数无限集还包括：有理数集合奇数集。

4、本福特定律

在实际的数字中，数字“1”作为首位数字出现的几率是30%.

1938年，物理学家福兰克·本福特（Frank Benford）首次在一组数字中发现，首位数字是“1”的情况总是占大多数。

其他数字出现在首位的情况则呈如下对数分布：

这是一种普遍观察到的现象。

该分布图被用于侦测数据异常，包括：

--伊朗选举欺诈     

--经济数据造假      

--会计账务伪造

这种现象也可以在以下集合中观察到：

--斐波那契数     

--（1,1,2,3,5,8,13,21,34...）

--阶乘                

--2的幂

5、生日悖论

我们假设你工作在一个23人的办公室。

那么，你办公室中两个人生日相同的几率是多少呢？（为使问题简化，我们排除2月29日）

答案是：两个人生日相同的几率是50%.

只要一个人群达到366人，那么从统计学的角度就可以确定 有两个人生日相同。因为只有365种可能的生日（排除2月29日）。

然而有趣的是，所有生日都是等概率分布的，只要一个人群有57人，那么两个人生日相同的机率就可以达到99%.

这是怎么推算出来的呢？

让我们再回到那个23人的办公室，来看一看是怎么回事。

我们要进行一下反概率运算，即计算一群人中没人生日相同的机率，来推算出我们想要的有生日相同的机率。

如果我们正面硬求解的话，要推算出办公室中两人生日相同的机率是很困难的。

而要计算出一群人中没人生日相同的机率则是非常非常容易的。

两个人生日不同的机率是这样算的：

三个人中没人生日相同的机率就是这样算的：

四个人中没人生日相同的机率是这样算的：

我们以此推算会得到什么结果呢？那就是，23个人中没人生日相同的机率是：

这时候就意味着，既然没人生日相同的机率是49.3%，那么至少有两人生日相同的机率就是50.7%.

下面就是概率（机率）曲线的样子：

6、会计/管道工问题

“上礼拜，我公寓跟冰窖似的，因为我的暖气坏了。”

“我就去找了个人，让他看一下暖气，他用了一堆备件就把它修好了。我就付了他维修费。“那这个人很可能是：会计？还是...会计及管道工？

答案是：这个人很可能是会计。

因为从场景中，这个人可能是管道工，所以你就直觉第认为他是管道工。

但是，一个人是“会计及管道工”，那他也还是会计。

参照下面的图想一想：

严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：

而他是“会计”的概率里面还包含着他只是“会计而不是管道工”的概率B.

严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：

A代表给我修暖气的那个人是“会计及管道工”的概率。

A+B的和代表给我修暖气的是“会计”的概率。

严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：

A≤A+B，从概率学的角度讲，给我修暖气的人更可能是会计。

7、贝特朗箱子悖论

我有三个箱子，每个箱子都有两个隔档。

 第一个箱子里面是两块金条

 第二个箱子里面是两块银条

 第三个箱子里面是一块金条和一块银条

你随机抽取一个箱子，然后随机打开一个隔档。

如果里面是金条，那另外一个隔档里是金条的概率是多少？

你的第一反应一定是：1/2

因为只有两个箱子里面有金条，你就想，我一定选中了其中一个。

又因为其中一个箱子里面是一块金条和一块银条，所以，另外一个隔档里面是金条的概率就是1/2.

对吗？

你错了！

实际上比那要复杂得多。要推算出为什么不是1/2，让我们给金条和银条贴上瑞霞标签：

然后，我们列举了一下所有可能抽取到的情况：

接下来，让我们只看一下第一次抽到金条的情况：

所以，如果你第一次抽到的箱子里有一个隔档是金条的话，那么另一个隔档里是金条的概率是2/3.

3次中有两次另一个隔档是金条，是因为在你抽到的3次金条中，有两次你分别抽到了G1和G2.

3次中有一次另一个隔档是银条，是因为在你抽到的3次金条中，有一次你抽到了G3.

这个问题和三门问题有非常紧密的联系。

8、如何用一块镖板推算出圆周率π

你可以用有块镖板推算出圆周率π的值

有一种很有趣的方法，通过反复随机在正方形镖板内选点，可以推算出圆周率π的值

首先，我们需要做一些运算：

正方形内切圆的半径为1，正方形的边长就是2.

那么，圆的面积就是：

πr2=π（12）=π

正方形的面积就是：

22=4

接下来，我们在正方形内随机选取几千个点。

有一种很有趣的方法，通过反复随机在这个正方形内选点，可以推算出圆周率π的值。

选的点越多，得出来的结果就越接近。

选点结束后，将结果带入下面的公式，就可以推算出π的值：

这是运用几何学和概率推算圆周率π的方法。

9、调和级数发散至无穷大

下面就是调和级数：

分母持续增长趋向无穷大。

许多其他的无穷级数都聚合至单个数字：

然而，调和级数却不是这样：

对于大多数人来说，这是非常非常难以理解的——

请看下面：

它看起来增长的越来越慢！看那分数的值多小啊！而且只会越来越小！

但实际上，调和级数不会聚合到单个数字。它在趋向无穷大，只是很慢很慢。

我们来证明一下。

证明调和级数是发散的——

让我们把调和级数和另外一个小一些级数对比一下：

注意，从第二项开始，第二个无穷级数中的每一个数都比调和级数同一位置的数要小。所以：

但是我们看一下第二个无穷级数：

可以简化为：

很明显可以发散至无穷大：

所以，如果

并且

那么

10、你的朋友很可能比你人缘好

从数学上讲，大多数人的朋友平均所拥有的朋友数量要比他们自己的朋友多。

这种很有应用题色彩的现象，很大程度上是由于社交网络的数学性质所决定的。

它基于这样一种理念，那就是平均来讲，大多数人的朋友都拥有比他们自己更多的朋友。

社会学家斯科特·L·费尔德在1991年的一遍论文中，发现71%的人平均所拥有的朋友都比

他们的朋友所拥有的朋友要少。

关键点在于人缘好的人。

我们来看一个例子。

我们再来回顾一下你的办公室来证明这一点（现在经过裁员，只剩下20个人了）。下面是你办公室的朋友关系图。连接线表示他们之间为朋友关系：

在这个办公室里，平均每个人拥有2.85个朋友。

但是，每个人的朋友却平均拥有3.39个朋友。

图中标注出了拥有朋友数量高出平均数的人。他们都是人缘极好的人。更重要的是，办公室的20人中有17人至少跟她们中的一位是朋友：

这只是一个例子，但在现实世界中却稀松平常。

在推特上，在微博上，脸谱、人人......你所关注的人很可能拥有比你更多的粉丝。

基本上讲，相对于朋友较少的人，你更愿意与朋友多的人成为朋友。

这条规则不仅仅适用于朋友关系。

11、任意四边形边线中点连线构成平行四边形

画一个四边形，可以是任意古怪的形状，不规则四边形、凹四边形、凸四边形......只需要四个点和四条直线。

标出每条边线的中点

将边线相连。你总是会得到一个完美的平行四边形。

12、三个犯人

三个犯人都住在隔离间，并且都被判处了死刑。狱官随机赦免了其中一个犯人。看守知道谁会被赦免，但不会说。

犯人A脸皮厚，让看守告诉他，B和C谁会被执行死刑。

如果赦免的是B，那就说C；如果赦免的是C，那就说B；如果B和C都没被赦免，那就投硬币决定说谁。

看守告诉A，犯人B将会被执行死刑。

犯人A兴奋不已，觉得自己生存的机率从1/3提升到了1/2，因为原来是A、B、C三个人有一人被赦免，现在是A、C两个人有一个被赦免。

A将此告诉了C，C同样兴奋不已。他的理由是：A生存的机率仍然是1/3，而C却有了2/3的机率被赦免。

谁错了呢？

答案是：犯人C是对的。

最初，三人都有1/3的机率被赦免。看守说B会被处决，这意味着一下两者可能：

--C会被赦免（1/3的机率）

--A会被赦免，投硬币投到B（1/6的机率）

这就意味着A被赦免的机率是C被赦免的一半，二B已不可能被赦免。

所以，A被赦免的机率没有变化，仍然是1/3.而C被赦免的机率已翻倍至2/3.

如果你仍然怀疑，那我们就对这其中的机率进行一下盘点：

接下来，我们只看B被处决的情况。我们看到，C被赦免的机率是A的两倍。

既然我们知道，现在B被赦免的机会为0%，并且，C被赦免的机率是A的两倍：

可见，犯人A问了多么愚蠢的一个问题。

转自：https://mp.weixin.qq.com/s/aMMRXYvrUt08cmbzuoCVXQ

奇特的数学问题（转）