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[HNOI2009]有趣的数列

2024-10-16 18:59:02   216人阅读

题目描述

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；

(2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n；

(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n<=1000，100%的数据满足n<=1000000且P<=1000000000。

输出格式：

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

输入输出样例

输入样例#1：
3 10
输出样例#1：
5
  对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。
50分：最先想到动态规划
f[i][j]表示i位为j的方案数，转移方程略
100分：catlan数

考虑将数列分成奇数项数列和偶数项数列，将2n个数从大到小往两个数列里放这样可以满足两个数列都是递增的 
那么只要第一个数列不是满的，任何时候都可以放数进去，而第二个数列放数进去时要满足与当前项对应的第一个数列的那一项已经放了数，这样才能满足对应的奇数项小于偶数项 (感觉和栈很像)
那么只要计算这种放法下的方案数就是序列的方案数，而这种放法和Catalan数的经典问题括号序列方案数的那个其实是一样的，将一个数放入奇数序列等价为放一个(，放入偶数序列等价为放一个)，将所有左右括号匹配，第一项一定是(，设他和第i项匹配，那么方案数就是两个括号中间的方案数乘第i项右边的方案数，即

f[n]=f[0]?f[n?2]+f[2]?f[n?4]......
将这里所有数除以2，就是第n项Catalan数，所以长度为2n的数列的方案数就是第n项Catalan数，因为P不是质数，所以分解质因数弄一下
--部分转载L_0_Forever_LF的专栏
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 long long p,n,ans;
 8 bool vis[3000001];
 9 int mp[3000001],prime[2000001],tot,cnt[3000001];
10 long long qpow(long long x,long long m)
11 {
12     if (m==0) return 1;
13     long long tmp=qpow(x,m/2);
14     tmp=(tmp*tmp)%p;
15     if (m%2==1) tmp=(tmp*x)%p;
16     return tmp;
17 }
18 int main()
19 {int i,j;
20     cin>>n>>p;
21     for (i=2;i<=2*n;i++)
22     {
23     if (vis[i]==0)
24     {mp[i]=i;
25         prime[++tot]=i;
26     }
27         for (j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=2*n;j++)
28         {
29          vis[i*prime[j]]=1;
30          mp[i*prime[j]]=prime[j];
31          if (!(i%prime[j])) break;    
32         }
33     }
34     for (i=2;i<=n;i++)
35     cnt[i]=-1;
36     for (i=n+2;i<=2*n;i++)
37     cnt[i]=1;
38      for (i=2*n;i>=2;i--)
39      {
40          if (mp[i]!=i)
41          {
42              cnt[i/mp[i]]+=cnt[i];
43              cnt[mp[i]]+=cnt[i];
44          }
45      }
46      int ans=1;
47      for (i=2;i<=2*n;i++)
48      {
49          if (mp[i]==i)
50          ans=(ans*qpow(i,cnt[i]))%p;
51      }
52     cout<<ans;
53 }

 

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