定理 调和级数 $$\vsm{n}\frac{1}{n}$$ 发散.

证 若不然. 令 $S=\vsm{n}\frac{1}{n}<\infty$, 则

$$\vsm{n}\frac{(-1)^n}{n}=S-2\vsm{n}\frac{1}{n}=S-S=0.$$

这与

$$\vsm{n}\frac{1}{n}=\sex{1-\frac{1}{2}}+\sex{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}+\cdots>0$$ 

矛盾. 故调和级数 $\vsm{n}\frac{1}{n}$ 发散.

类似可证： 若  $0<\al<1$, 则级数 $\vsm{n}\frac{1}{n^\al}$ 发散.

来自Hansschwarzkopf

调和级数发散的简短证明