问题1.为什么a+b=b+a
问题2.1/3为什么是正数，1/3为什么大于0
问题3.为什么任意两个比例数之间必然存在第三个比例数
问题4.如何证明比例数的阿基米德性质
问题5.为什么根号2不是比例数
问题6.为什么要定义cauchy列

从最简单的自然数开始,我们知道自然数对于加法运算还有乘法运算是封闭的,通过在自然数中引入减法的概念,就可以构造出整数集合,整数集合不仅对于加法,乘法运算封闭,而且对于减法是封闭的,通过在整数集合引入除法运算,就可以构造出一个新的集合,比例数或者有理数.
换句话话说通过两种运算,减法和除非,就可以构造出整数和比例数集合.但是对于实数集合不能这么做,因为从比例数过度到实数,是一个从离散到连续的过程.这需要一种心的运算,极限.
一旦构造出了实数,会立刻证明一个最最基本的定理,确界原理.有了他,整个微积分就有了理论基础.
当然你需要对比例数的所有性质都有了解,这里的前提是已经对整数的所有的基本性质都有了解.

为什么a+b=b+a
在生活中，如果你问别人为什么1/3+1/2=1/2+1/3。别人一定会对你说俩字:傻逼。
是滴，这些东西太直观了，直观到从来都不需要怀疑他的正确性。然后直观的并非总是正确的。
事实上，要回答这个定义，需要给出比例数的严格定义。当然比例数的严格定义肯定要用到整数的一些性质，当然我们承认整数的一些性质:譬如加法交换律，结合律等。
给出了比例数的定义之后，需要给出比例数的运算的定义，进而就可以利用整数的性质来证明比例数的运算性质了。

定义:比例数
a//b是比例数，c//d也是比例数，a，b，c，d是整数，a//b=c//d当且仅当a*d=b*c。
这里比例数的定义，仅仅用到了整数以及整数的乘法运算。当然需要证明这个定义是成功的，譬如，你需要证明他满足自反，对称，可传递。
下面给出对称性的证明
命题:如果a//b=c//d 那么c//d=a//b
证明:
a//b=c//d =>a*d=b*c (比例数定义)
=>d*a=c*b (整数乘法交换性)
=>c*b=d*a(整数相等性的对称性)
=>c//d=a//b(比例数定义)

比例数加法，乘法，负运算的定义
加法定义:a//b+c//d=(a*d+c*b)//b*d

命题：a//b+c//d=c//d+a//b
证明
a//b+c//d=>(a*d+c*b)//b*d
c//d+a//b=>(cb+ad)//db
只需要证明(a*d+c*b)//b*d= (cb+ad)//db即可。
只需要证明(ad+cb)*db=(bd)*(cb+ad)
只需要证明ad*db+cb*db=bd*cb+bd*ad
由整数乘法的交换律和加法的交换律上面等式成立。

由最简单的一些性质证明了这个命题，有意思。按照类似的办法可以证明其他运算律。

命题:任意比例数C，存在唯一一个整数N使得 N<=c<N+1.
对于任意的正比例数m,存在正自然数a和b,使得m=a/b.根据自然数的带余除法定理,我们知道存在唯一的q和r,0<=r<b使得a=bq*+r.
a/b=q+r/b
其中0<=r/b<1(why)
q<=q+r/b<q+1
对于任意的负比例数m,可类似证明.

命题:任意两个正比例数c，d,存在一个正整数N，使得c<Nd
c/d是正比例数，且存在一个正整数M使得c/d<=M<M+1。另N=M+1。得到c/d<N.
两边同乘以d，得到c<dN。

定义:正比例数
一个比例数c是正的，当且仅当他可以写成两个正整数之比。一个比例数c是负的，当且仅当存在一个正的比例数z,使得c=-z;

证明1/3是正比例数
1/3是正的，因为存在两个正整数1和3，使得比例数1/3=1/3。

证明 -1/3是负的
-1/3是负的,因为一个正的比例数1/3,使得-1/3=-(1/3)

命题:a是一个比例数,那么下面三个恰有一个成立
1)a是0
2)a是正比例数
3)a是负比例数
我们需要证明a只能是1),2),3),同时还要证明a不可能同时满足上面任意两个.

证:
假设a=m/n,其中m,n是整数.由整数的三岐性知道,m,n恰是0,或者正数,或者负数.
现在分类讨论.
1. m,n同号.如果m,n同位正,a是正比例数,如果,m,n同为负,a是负比例数.因为此时存在一个正比例数z=-m/-n,使得a=-z.
2. m,n异号.m是正数,n是负数时,m/n是负的,因为存在一个正比例数z=m/-n使得,a=-z.同理可知m是负数,n是正数时,a也是负比例数.
3. m为0时,a为0.
我们证明了无论m,n是什么值时(n=0时除外),m/n只能是0,或负比例数,或正比例数,不可能是其他额外的东西.
下面证明m/n不可能同时满足1),2),3)中的任意两个.
1.如果m/n是0,那么m必然是0.此时m/n不可能是2),3).
2.如果m/n是正比例数,说明存在一个正比例数z=x/y,其中x是正数,y也是正数.如果m/n同时还是负数,说明存在一个正比例数r=e/f.使得a=-r. 此时-e/f=x/y.由于比例数的定义知道,-ey=fx.其中e,y,f,x都是正数.我们推出了一个矛盾,因为由正数的性质知道,一个数不可能同时是正数又是负数.

完事了.这个看似非常非常简单只管的命题,证明起来确需要一番力气.

方便起见,我们将正比例数叫做正数,负比例数叫做负数.

正数和负数的定义,有助于我们定义一个更加有用的东西,序!

序的定义:
a,b是比例数,a>b当且仅当a-b是正数,a<b,当且仅当a-b是负数,a=b当且仅当a-b是0.

定义序需要用到正数和负数,同时还需要用到减法的概念,嗯,如果没有他们,a>b这种东西可定义不了.
(当然a>=b,a<=b这种东西还没有定义,不过,模仿上面的定义很容易定义出来,譬如,a>=b实际就是说a-b是非负的.)

关于序有几个非常非常重要的性质
1.任意两个比例数a,b,恰有a>b,a=b,a<b.
2.a>b等价于b<a
3.a>b,b>c,则a>c
3.a,b,c是比例数,若a>b,则a+c>b+c
4.a,b,c是比例数,且a>b>0,若c>0,则ac>bc>0

证明1.
a-b要么是正的,要么是负的,要么是0,且恰有一个成立,因此a>b,a<b,a=b恰有一个成立.
证明2.
a>b =>a-b是正的.(序的定义)
=>-(a-b)是负的(整数的负数定义)
=>-a+b是负的(正数乘法的分配率)
=>b-a是负的(正数加法的交换率)
=>b<a(序的定义)
证明3.
a>b => a-b是正的
b>c => b-c是正的

a-b+b-c是正(why,为什么一个正比例数加上一个正比例数是正数)
a-c是正的
a>c

这里附加上一个命题:a,b都是正数,a+b也是正数
因为a,b是正比例数,故存在正数x,y,m,n使得a=x/y,b=m/n.
a+b=(xn+my)/yn.其中xn,my,xn+my,yn都是正整数,故a+b是正比例数.

证明4.
a>b=>a-b是正的
=>a-b+0
=>a-b+(c-c)是正的(因为任意整数c,都有c=c+0成立.)
=>a+c-b-c是正的
=>a+c-(b+c)是正的
=>a+c>b+c
a,b同号 如果a,b同是正的，那么a/b是正比例数。如果ab同是负的,那么a/b=-a/ -b,其中-a是正的，-b也是正的，因此a/b是正的。
b异号 类似可以证明a/b是负的。

证明5.
a>b>0=>a-b是正的
=>(a-b)*c是正的(c是正数)
=>a*c-b*c是正的
=>a*c>b*c>0

命题 1/2>1/3
证明:
1/2-1/3=(1*3-1*2)/(2*3)
=1/6
而1/6是正的,所以1/2>1/3

定义了比例数的代数运算,也定义了序,如果不定义绝对值就可惜了.绝对值是一个非常非常美妙的东西,在比例数的所有定义当中,我最喜欢绝对值这个东西了,他的美妙后面可以看到.

定义绝对值

定义:|a|=a,当且仅当a是正数.|a|=-a,当且仅当a是负数,|a|=0,当且仅当a=0.我们将|a|叫做a的绝对值.

设a,b,c是比例数,那么绝对值有如下性质
1)|a|>=0
2)若|a|<=b,那么 -b<=a<=b
3)|a+b|<=|a|+|b|,
4)|ab|=|a|*|b|

证明2)
分类讨论a.
若a是正比例数,则|a|<=b蕴含a<=b,因为a>0,而b>=a>0,因此b!=0,b是正比例数,-b是负比例数.
因此有-b<a<b.

若a是负比例数,则|a|<=b蕴含-a<=b,同理也可以得到 -b<-a<b, -b<a<b.
若a是0,也成立.

可以证明若b等于0,则a也等于0.

证明3.
思路,欲证明|a+b|<=|a|+|b|,根据性质2)只需要证明 -(|a|+|b|)<=a+b<=|a|+|b|
-|a|<=a<=|a|(why)
-|b|<=b<=|b|(why;)
-(|a|+|b|)<=a+b<=|a|+|b|

辅助命题:a是比例数,有-|a|<=a<=|a|
a是正比例数时,|a|是正比例数且|a|=a,-|a|=-a.此时-a<=a<a成立,故-|a|<=a<=|a|成立
a是0,成立.
a是负比例数,|a|=-a,-|a|=-(-a)=a.此时有a<=a<=-a.因此-|a|<=a<=|a|成立.

如果定义了绝对值,再不定义距离的概念就可惜了.距离这个概念在实数理论中太重要了.
定义距离:a,b之间的距离记为p(a,b)=|a-b|.
由绝对值的定义可以轻易的得到一下性质
1.p(a,b)>=0,当且仅当a=b时,等号成立
2.p(a,b)=p(b,a)
3.p(a,c)<=p(a,b)+p(b,c)

实数理论(1)关于比例数的基本性质的推演