我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用sqrt，exp，abs等函数，那么时候你有没有想过：这个些函数系统是如何实现的？就拿最常用的sqrt函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？

虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了：

float SqrtByBisection(float n) //用二分法 { 	if(n<0) //小于0的按照你需要的处理 		return n; 	float mid,last; 	float low,up; 	low=0,up=n; 	mid=(low+up)/2; 	do	{		if(mid*mid>n)			up=mid; 		else 			low=mid;		last=mid;		mid=(up+low)/2; 	}while(abs(mid-last) > eps);//精度控制	return mid; } 

然后看看和系统函数性能和精度的差别（其中时间单位不是秒也不是毫秒，而是CPU Tick，不管单位是什么，统一了就有可比性） 

从图中可以看出，二分法和系统的方法结果上完全相同，但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢？难道系统有什么更好的办法？难道。。。。哦，对了，回忆下我们曾经的高数课，曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”，或者这种方法可以帮助我们，具体步骤如下：

求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。  例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：  (       4  + 2/4        ) / 2 = 2.25  (     2.25 + 2/2.25     ) / 2 = 1.56944..  ( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..  ( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..  .... 这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

相关的代码如下：

float SqrtByNewton(float x){	float val = x;//最终	float last;//保存上一个计算的值	do	{		last = val;		val =(val + x/val) / 2;	}while(abs(val-last) > eps);	return val;}

然后我们再来看下性能测试：

哇塞，性能提高了很多，可是和系统函数相比，还是有这么大差距，这是为什么呀？想啊想啊，想了很久仍然百思不得其解。突然有一天，我在网上看到一个神奇的方法，于是就有了今天的这篇文章，废话不多说，看代码先：

float InvSqrt(float x){	float xhalf = 0.5f*x;	int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE 	i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0	x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float	x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy	x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy	x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy	return 1/x;}

然后我们最后一次来看下性能测试：

这次真的是质变了，结果竟然比系统的还要好。。。

关于sqrt函数的算法