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关于半平面交
嗯,这是一个很屌的东西。可以把他想象成数学中的线性规划问题,然后自然而然得想到就可以求最优解啦。
如何求解半平面交?????
做法一:暴力枚举点,用该点切割现有的凸多边形,这样的复杂度是O(n^2)
做法二:神奇的分治O(nlogn),然而我并不会。。。。
做法三:参见2006年朱泽园大神发明的排序增量法:这里就暂时不给详细介绍了。
复杂度O(nlogn),如果把快速排序改成基数排序,复杂度可以进一步降为:O(n)!!!!!!
半平面交的另外一个应用是求多边形的核:可以想象成站在一个多边形的点上,
该点能看到多边形的每一个部位的点集。这个直接求出半平面的面积就可以了。
#include<bits/stdc++.h> #define N 2000 #define il inline #define LL long long #define db double using namespace std; struct point{ db x,y; point() {} point(db X,db Y):x(X),y(Y) {} db operator *(const point & a)const{ return x*a.y-y*a.x; } point operator +(const point & a)const{ return point(x+a.x,y+a.y); } point operator -(const point & a)const{ return point(x-a.x,y-a.y); } point operator *(const db & k)const{ return point(x*k,y*k); } }p[N]; struct line{ point a,b;db Ang; line() {} line(point A,point B,db Aa):a(A),b(B),Ang(Aa) {} }l[N]; int n; #define eps 1e-8 il int CC(double kk){ if(fabs(kk)<eps)return 0; return kk>0?1:-1; } il bool comp(const line & l1,const line & l2){ int ff=CC(l1.Ang-l2.Ang); if(!ff)return CC((l2.a-l1.a)*(l2.b-l1.a))<0; return l1.Ang<l2.Ang; } void getnode(line l1,line l2,point & p){ point a=l1.a,b=l1.b,c=l2.a,d=l2.b; db k=((c-a)*(d-c))/((b-a)*(d-c)); p=a+(b-a)*k; } int de[N]; bool check(line l0,line l1,line l2){ point p;getnode(l1,l2,p); return CC((l0.b-l0.a)*(p-l0.a))<0; } void HalfplaneIntersect(){ int j=0; sort(l+1,l+n+1,comp); l[++j]=l[1]; for(int i=2;i<=n;++i) if(CC(l[i].Ang-l[j].Ang)>0)l[++j]=l[i]; n=j;de[1]=1,de[2]=2; int tail(2),head(1); for(int i=3;i<=n;++i){ while(tail>head&&(!check(l[i],l[de[tail]],l[de[tail-1]])))tail--; while(tail>head&&(!check(l[i],l[de[head]],l[de[head+1]])))head++; de[++tail]=i; }while(tail>head&&(!check(l[de[head]],l[de[tail]],l[de[tail-1]])))tail--; while(tail>head&&(!check(l[de[tail]],l[de[head]],l[de[head+1]])))head++; int cnt=0;de[++tail]=de[head]; for(int i=head;i<tail;++i)cnt++,getnode(l[de[i]],l[de[i+1]],p[cnt]); n=cnt; } db Ans(){ db cnt=0.00; if(n<3)return 0; for(int i=2;i<n;++i)cnt+=((p[i]-p[1])*(p[i+1]-p[1])); cnt=fabs(cnt);cnt/=2;return cnt; } int main(){ int T;scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); for(int i=1;i<n;++i)l[i]=line(p[i],p[i+1],atan2(p[i+1].y-p[i].y,p[i+1].x-p[i].x)); l[n]=line(p[n],p[1],atan2(p[1].y-p[n].y,p[1].x-p[n].x)); HalfplaneIntersect();printf("%.2lf\n",Ans()); } return 0; }
关于半平面交
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