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埃及分数
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对于每一个非负有理数，我们知道它一定能划归成某些特殊真分数之和，特殊真分数要满足它们的分子为1，但是我们知道，对于无穷级数1/2+1/3+1/4…。虽然，它是发散的，但是改级数增长得极为缓慢，例如到了数百万之后，和也在18~19左右。 若干年来，不断有人宣称发现了该级数的特殊性质，这些都对这个问题的研究起到了深远的影响。 你的任务来了，要求给你个真分数，你需要将其化简为最少的若干特殊真分数之和，你要输出这个序列（序列按递增序）。 如果有不同的方案，则分数个数相同的情况下使最大的分母最小。若还相同，则使次大的分母最大……以此类推。 如：2/3=1/2+1/6，但不允许2/3=1/3+1/3，因为加数中有相同的。 对于一个分数a/b，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？ 首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如： 19/45=1/3 + 1/12 + 1/180 19/45=1/3 + 1/15 + 1/45 19/45=1/3 + 1/18 + 1/30 19/45=1/4 + 1/6 + 1/180 19/45=1/5 + 1/6 + 1/18 最好的是最后一种，因为18 比180, 45, 30,都小。 |
对于此类搜索问题，搜索深度没有明显的上界，而且加数的选择在理论上也是无限的，也就是说宽度搜索连一层都扩展不完。
利用迭代加深搜索（IDA*）可以解决上面的问题。一方面我们要解决，利用DFS从小到大枚举深度上限maxd，虽然理论上深度是无限的，但是只要保证有解，深度值必然在有限的时间内能枚举到。
另一方面，我们还要解决每次枚举的值无限的问题，可以借助maxd来“剪枝”，以此题为例，每一次枚举的的分母个数必然有一个结束值，否则就会出现无限下去的尴尬了。那么当扩展到第i层时，第i层分数值为1/e，那么接下来由于分母是以递增顺序进行的，那么分数值都不会大于1/e，如果c/d（前i个分数之和）+1/e*（maxd-i）<a/b，可以直接break;因为起码深度不够，要再加深度。
基本框架：
for（maxd=1；；maxd++）{ if(dfs(0,,,)) { ok=1; break; } }
code:
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define MAXN 20000//一定要用64位的整数，由于里面存在化归为同分母的操作，需要相乘using namespace std;int64_t maxd;int64_t v[MAXN],ans[MAXN];//v是暂时存放的满足题意的分母的数组，ans是记录满足题意的最优分母值的数组。int64_t gcd(int64_t a,int64_t b)//求最大公约数{ int64_t m; while(a!=0) { m=b%a; b=a; a=m; } return b;}int64_t getfirst(int64_t a,int64_t b)//取比a/b小的最大分数，分子必须为1{ int64_t i,j; for(i=2;;i++) { if(b<a*i) { break; } } return i;}bool better(int64_t d)//必要的判断，这组分数之和是否满足最优解{ int64_t i; bool flag=true; if(ans[d]==-1)//由于初始化ans是-1，如果是第一次出现的满足题意的解，返回true return true; for(i=d;i>=0;i--) { if(v[i]==ans[i])//从高位进行判断大小，题意要求 continue; else if(v[i]>ans[i]) { //return false; flag=false; break; } else { break; } } if(flag==true) return true; else return false;}bool dfs(int64_t a,int64_t b,int64_t from,int64_t d)//深度为d{ int64_t aa,bb,g,i; bool ok; // cout<<from<<endl; if(d==maxd) { if(a!=1) return false; for(i=0;i<=d-1;i++) { if(v[i]==b) { return false; } } v[d]=b; sort(v,v+d); if(better(d)) memcpy(ans,v,sizeof(int64_t)*(d+1)); return true; } ok=false; //重要！！！ from=max(from,getfirst(a,b));//枚举起点，去上一次加一的分母值和比a/b小的最大分数的分母中更大的。 for(i=from;;i++) { //剪枝，如果c/d（前i个分数之和）+1/e*（maxd-i）<a/b，可以直接break; if(b*(maxd+1-d)<=a*i) break; v[d]=i; aa=a*i-b; bb=b*i; g=gcd(aa,bb); aa=aa/g; bb=bb/g;//约分 if(dfs(aa,bb,i+1,d+1)) ok=true; } return ok;}int main(){ int64_t a,b,aa,bb,i,g; while(cin>>a>>b) { if(a==0) { cout<<a<<"/"<<b<<"=0"<<endl; continue; } memset(ans,-1,sizeof(ans)); g=gcd(a,b); aa=a/g; bb=b/g; if(aa==1) { printf("%d/%d=%d/%d\n",a,b,aa,bb); } else { for(maxd=1;;maxd++) { if(dfs(aa,bb,getfirst(aa,bb),0)) break; } cout<<a<<"/"<<b<<"="; for(i=0;i<=maxd-1;i++) cout<<"1/"<<ans[i]<<"+"; cout<<"1/"<<ans[i]; cout<<endl; } } return 0;}
方法：迭代加深解答树并进行剪枝
剪枝点：
- 要表示的分数与已经分配到分数总和的差值要大于0才继续尝试
- 根据剩余深度和上面的差值确定每层尝试分数分母的上限，下限即前一分配好的分数的分母加1
#include <iostream> #include <math.h> using namespace std; #define N 10000000 int array[N]; double is_equal(int a, int b, int cur) { double sum = 0; for (int i = 0; i <= cur; i++) sum += (double)1 / array[i]; return (double)a / b - sum; } int dfs(int cur, int d, int a, int b) { if (cur == d) return 0; int start = (int)(d - cur) / (is_equal(a, b, cur - 1)); int end = cur == 0 ? 2 : array[cur-1] + 1; for (int i = start;i>=end; i--) { array[cur] = i; double p = is_equal(a, b, cur); if (abs(p) <= 0.00001) { for (int j = 0; j <= cur; j++) cout << array[j] << ‘ ‘; cout << endl; return 1; } else if (p > 0) { if (dfs(cur + 1, d, a, b)) return 1; } } return 0; } int main() { int a, b; cin >> a >> b; for (int i = 1; ; i++) { //cout << i << endl; if (dfs(0, i, a, b)) break; } }
埃及分数