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[数字图像处理]图像复原--逆滤波

2024-07-13 16:44:42   253人阅读

1.逆滤波的问题点

      图像的老化，可以视为以下这样的一个过程。一个是退化函数的影响（致使图片模糊，褪色等），一个可加性噪声的影响。

用算式表示为 

    前几篇博文，主要是介绍可加性噪声的去除。本博文，主要介绍图像的逆滤波，即退化函数的去除。然而，逆滤波在空间域内的处理是很不方便的。
    简单的来考虑，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算的除法，微分的逆运算是积分(严密一点说是不定积分)。那么就可以得到一个简单的结论了，要出去卷积的话，肯定需要用到卷积的逆运算。卷积的逆运算是---------反卷积，额，好像是一个理所应当的名字。我们建立了一个关于卷积的直观认识，将信号反转与滤波器系数求积和。那么，反卷积是一种什么样的运算呢？或者具体的来讲，反卷积的空间运算表现形式是什么样的？这样的考虑其实是多余的，或者说，不用考虑的那么复杂。
    在之前的博文中([数字图像处理]频域滤波(1)--基础与低通滤波器)，我们得到这样的一个重要的结论。空间域内的卷积，其实就是频域内的乘积。那么这么考虑，就非常简单了，频域内的逆滤波运算，其实就是做除法。我们通过傅里叶变换，可以得到如下一个频域内的老化模型。
    

这样一个表达式内，没有了卷积运算，是一个很简单的四则运算。那么，所谓的去卷积或者逆滤波，就是将退化函数去除的过程。这样看来的话，直接做除法就可以了，如下所示。

    按照教材上的说法，这个表达式很有趣（哪里有趣了？）。首先，必须知道精确的退化函数。其次，如果退化函数含有0值或者极小值的话，会使得噪声项变得极大。
    综上所述，其实逆滤波的问题点有两个：、
    1.退化函数的推测。
    2.尽可能的不让噪声项影响画质。
   

2.两个退化函数的模型

   2.1 大气湍流模型 


   这个模型很简单，与高斯LPF很相似。伴随着值的增大，得到的图像越来越模糊。以下是这个模型执行的结果。

从表示式上可以看出，这个模型是不会有0值的，不过，这个模型与低通滤波器很相似，阻带的值都是极小的。这可能会使得图像的直接逆滤波失败。这个之后再说。
    

     2.2 运动模糊模型

     这个模型其实在Photoshop上也有一个同名的滤镜。详细的推倒我就不做了，这个模型的表达式如下所示。

这里有几个参数，说明一下。表示曝光时间，这里的与表示了水平移动量与垂直移动量。值得一提的是，不要忘记下面这样一个重要的极限。
注意，运动模糊后的图像的尺寸会变化，如果还是按照原图截取，会造成图像成分的损失，在复原图像时候效果不是太好，而且不知道导致效果不好的原因，是由于成分的缺失，还是噪声的干扰。所以，这里我适当的扩展了图像的尺寸，以保留图像的所有成分
    此模型的执行结果如下所示。


3.图像的逆滤波

   3.1 实验步骤与实验用图像

   我们是这样的一个实验步骤，首先，使用退化函数处理图像，然后加上适当的可加性噪声。使用这样的图像进行逆滤波实验。
   下面是实验用图像。图像的噪声选用的是高斯噪声，均值为0，方差为0.08。退化函数则选用先前叙述的两种，一个个大气湍流模型，一个是运动模糊。

    3.2 直接逆滤波

    所谓直接逆滤波，就是不管噪声的影响，直接进行逆滤波的方法。

对于大气湍流模型而言，直接逆滤波会得到很不理想的结果。下面是直接逆滤波的实验结果。

     实验结果完全没有任何价值。观察其频谱，频谱的四角很亮，而原本频谱最亮的直流分量都看不到了。所以，这里做一个限制处理。也就是，仅仅只处理靠近直流分量的部分，其他的不做处理。然后处理完的结果，过一个10阶巴特沃斯低通滤波器。可以得到如下结果。

     这样的话，只需要调整限制半径，可以得到一个比之前较好的结果。当然，这招在运动模糊的图片面前，就略显得无力了。结果我就不贴了。

     3.3 维纳滤波器

     维纳滤波器的推导，其实是个很复杂的过程。这里就不推导了，直接看结果，可以得到一些有用的结论。
观察式子，对于合适的常数，有如下两个结论。
1.对于退化函数很小的点，相对而言常数的值很大，其倒数不会太大。
2.对于退化函数很小的点，相对而言常数的值很小，其倒数 基本保持不变。

下面的维纳滤波器的实验结果：



    3.4 约束最小二乘方滤波

    其实这个方法是一个很好的想法，将图像的能量作为评价图像平滑程度的度量，尽可能的将其平滑。设噪声的能量是一个定值，使用拉普拉斯未定系数法，将其进行迭代，然后解开。这种方法有了很多的变种，包括很著名的TV(Total Variation，全变分)模型，这个我之后的博文会讲到。
    在这里，使用本方法的目的是，减少噪音对于逆滤波的影响。表达式如下所示。

这个滤波器，可以消除很严重的噪声，并且复原图像。将实验用图像的噪声的方差提升到0.2，再进行滤波，可以得到如下结果。


    4 实验代码

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原文发于博客：http://blog.csdn.net/thnh169/ 

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