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取模运算

取模运算

 
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求模运算与求余运算不同。“模”是“Mod”的音译,模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用,从奇偶数的判别到素数的判别,从模幂运算到最大公约数的求法,从孙子问题到凯撒密码问题,无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍,但多数都是以纯理论为主,对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

目录

1取模运算简介

2取模运算与取余运算区别

3概念

? 定义
? 基本性质
? 运算规则
? 重要定理

4应用

? 判别奇偶数
? 判别素数
 
 

1取模运算简介

例如11 Mod 2,值为1
上述模运算多用于程序编写,举一例来说明模运算的原理:
Turbo Pascal对mod的解释是这样的:
A Mod B=A-(A div B) * B (div含义为整除)

  本文以c++语言为载体,对基本的模运算应用进行了分析和程序设计,以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。

2取模运算与取余运算区别

对于整型数a,b来说,取模运算或者求余运算的方法都是:
1.求 整数商: c = a/b;
2.计算模或者余数: r = a - c*b.
求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时,向0 方向舍入(fix()函数);而取模运算在计算c的值时,向无穷小方向舍入(floor()函数)。
例如:计算-7 Mod 4
那么:a = -7;b = 4;
第一步:求整数商c,如进行求模运算c = -2(向无穷小方向舍入),求余c = -1(向0方向舍入);
第二部:计算模和余数的公式相同,但因c的值不同,求模时r = 1,求余时r = -3。
归纳:当a和b符号一致时,求模运算和求余运算所得的c的值一致,因此结果一致。
当符号不一致时,结果不一样。求模运算结果的符号和b一致,求余运算结果的符号和a一致。
另外各个环境下%运算符的含义不同,比如c/c++ 为取余,而java则为取模。

3概念

定义

给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
n = kp + r ;
其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r < p,则称 k 为 n 除以 p 的商,r 为 n 除以 p 的余数。
对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算:
取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
模p加法: ,其结果是a+b算术和除以p的余数。
模p减法: ,其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法: ,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明:
1. 同余式:正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做 或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。

基本性质

  1. 若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)
  2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
  3. 对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
  4. 传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,则a≡c (% p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
  1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)
  2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)
  3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
  4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)
  • 结合律:
    ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)
  • 交换律:
    (a + b) % p = (b+a) % p (7)
(a * b) % p = (b * a) % p (8)
  • 分配律:
    ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)

重要定理

  • 若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)
  • 若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)
  • 若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),
    (a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)

4应用

判别奇偶数

奇偶数的判别是模运算最基本的应用,也非常简单。
已知一个整数n对2取模,如果余数为0,则表示n为偶数,否则n为奇数。
C++实现功能函数:
/*函数名:IsEven函数功能:判别整数n的奇偶性。能被2整除为偶数,否则为奇数输入值:intn,整数n返回值:bool,若整数n是偶数,返回true,否则返回false*/boolIsEven(intn){return(n%2==0);}

判别素数

一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。例如 2,3,5,7 是质数,而 4,6,8,9 则不是,后者称为合成数或合数。
判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法——用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数,若该自然数能被整除,则说明其非素数。
C++实现功能函数:
/*函数名:IsPrime函数功能:判别自然数n是否为素数。输入值:intn,自然数n返回值:bool,若自然数n是素数,返回true,否则返回false*/
bool IsPrime(unsignedintn)
{
unsigned maxFactor=sqrt(n);//n的最大因子
for(unsignedinti=2;i<=maxFactor;i++)
{
if(n%i==0)//n能被i整除,则说明n非素数
{
returnfalse;
}
}
return true;
}求最大公约数
求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法(又称辗转相除法),其计算原理依赖于定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:
a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。
C++实现功能函数:
/*函数功能:利用欧几里德算法,采用递归方式,求两个自然数的最大公约数函数名:Gcd输入值:unsigned int a,自然数a;unsigned int b,自然数b返回值:unsigned int,两个自然数的最大公约数*/
unsigned int Gcd(unsigned int a,unsigned int b)
{
if(b==0)
return a;
return Gcd(b,a%b);
}/*函数功能:利用欧几里德算法,采用迭代方式,求两个自然数的最大公约数函数名:Gcd输入值:unsigned int a,自然数a;unsigned int b,自然数b返回值:unsigned int,两个自然数的最大公约数*/
unsigned int Gcd(unsigned int a,unsigned int b)
{
unsigned int temp;
while(b!=0)
{
temp=a%b;
a=b;
b=temp;
}
returna;
}模幂运算
利用模运算的运算规则,我们可以使某些计算得到简化。
例如,我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来,那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555(%10),所以问题就简化了。
根据运算规则(4)a^b % p = ((a % p)^b) % p ,我们知道3333^5555(%10)= 3^5555(%10)。由于3^4 = 81,所以3^4(%10)= 1。
根据运算规则(3) (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ,由于5555 = 4 * 1388 + 3,我们得到3^5555(%10)=(3^(4*1388) * 3^3)(%10)=((3^(4*1388)(%10)* 3^3(%10))(%10)
=(1 * 7)(%10)= 7。
计算完毕。
利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1,然后重复将result乘以X,每次乘法之后应用%运算符(这样使得result的值变小,以免溢出),执行N次相乘后,result就是我们要找的答案。
这样对于较小的N值来说,实现是合理的,但是当N的值很大时,需要计算很长时间,是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。
如果N是偶数,那么X^N =(X*X)^[N/2];
如果N是奇数,那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];
其中[N]是指小于或等于N的最大整数。
C++实现功能函数:
/*函数功能:利用模运算规则,采用递归方式,计算X^N(%P)函数名:PowerMod输入值:unsigned int x,底数x unsigned int n,指数nunsigned int p,模p返回值:unsigned int,X^N(%P)的结果*/
unsignedintPowerMod(unsignedintx,unsignedintn,unsignedintp)
{
if(n==0)
{
return1;
}
unsignedinttemp=PowerMod((x*x)%p,n/2,p);//递归计算(X*X)^[N/2]
if((n&1)!=0)//判断n的奇偶性
{
temp=(temp*x)%p;
}
returntemp;
}
《孙子问题(中国剩余定理)》
在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合这个条件的最小数。”
这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法,国际上称为“中国剩余定理”.
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:
三人同行七十稀,五树梅花甘一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。
这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
根据剩余定理,我把此种解法推广到有n(n为自然数)个除数对应n个余数,求最小被除数的情况。输入n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,计算机将输出最小被除数。
C++实现功能函数:
/*函数名:ResidueTheorem函数功能:运用剩余定理,解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,返回最小被除数输入值:unsignedintdevisor[],存储了n个除数的数组unsignedintremainder[],存储了n个余数的数组intlength,数组的长度返回值:unsignedint,最小被除数*/unsignedintResidueTheorem(constunsignedintdevisor[],constunsignedintremainder[],intlength){unsignedintproduct=1;//所有除数之乘积for(inti=0;i<length;i++)//计算所有除数之乘积{product*=devisor[i];}//公倍数数组,表示除该元素(除数)之外其他除数的公倍数unsignedint*commonMultiple=newunsignedint(length);for(inti=0;i<length;i++)//计算除该元素(除数)之外其他除数的公倍数{commonMultiple[i]=product/devisor[i];}unsignedintdividend=0;//被除数,就是函数要返回的值for(inti=0;i<length;i++)//计算被除数,但此时得到的不是最小被除数{unsignedinttempMul=commonMultiple[i];//按照剩余理论计算合适的公倍数,使得tempMul%devisor[i]==1while(tempMul%devisor[i]!=1){tempMul+=commonMultiple[i];}dividend+=tempMul*remainder[i];//用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数}delete[]commonMultiple;return(dividend%product);//返回最小被除数}凯撒密码
凯撒密码(caeser)是罗马扩张时期朱利斯·凯撒(Julius Caesar)创造的,用于加密通过信使传递的作战命令。
它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用,z的后面可以堪称是a。
例如,当密匙为k = 3,即向后移动3位时,若明文为”How are you!”,则密文为”Krz duh btx!”。
凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下:
在这里,我们做此约定:明文记为m,密文记为c,加密变换记为E(key1,m)(其中key1为密钥),
解密变换记为D(key2,m)(key2为解密密钥)(在这里key1=key2,不妨记为key)。
凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换:c≡m+key (mod n) (其中n为基本字符个数)
同样,解密过程可表示为:m≡c+key (mod n) (其中n为基本字符个数)
C++实现功能函数:
/*函数功能:使用凯撒密码原理,对明文进行加密,返回密文函数名:Encrypt输入值:constcharproclaimedInWriting[],存储了明文的字符串charcryptograph[],用来存储密文的字符串intkeyey,加密密匙,正数表示后移,负数表示前移返回值:无返回值,但是要将新的密文字符串返回*/voidEncrypt(constcharproclaimedInWriting[],charcryptograph[],intkey){constintNUM=26;//字母个数intlen=strlen(proclaimedInWriting);for(inti=0;i<len;i++){if(proclaimedInWriting[i]>=‘a‘&&proclaimedInWriting[i]<=‘z‘){//明码是大写字母,则密码也为大写字母cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-‘a‘+key)%NUM+‘a‘;}elseif(proclaimedInWriting[i]>=‘A‘&&proclaimedInWriting[i]<=‘Z‘){//明码是小写字母,则密码也为小写字母cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-‘A‘+key)%NUM+‘A‘;}else{//明码不是字母,则密码与明码相同cryptograph[i]=proclaimedInWriting[i];}}cryptograph[len]=‘\0‘;}/*函数功能:使用凯撒密码原理,对密文进行解密,返回明文函数名:Decode输入值:charproclaimedInWriting[],用来存储明文的字符串constcharcryptograph[],存储了密文的字符串intkeyey,解密密匙,正数表示前移,负数表示后移(与加密相反)返回值:无返回值,但是要将新的明文字符串返回*/voidDecode(constcharcryptograph[],charproclaimedInWriting[],intkey){constintNUM=26;//字母个数intlen=strlen(cryptograph);for(inti=0;i<len;i++){if(cryptograph[i]>=‘a‘&&cryptograph[i]<=‘z‘){//密码是大写字母,则明码也为大写字母,为防止出现负数,转换时要加个NUMproclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-‘a‘-key+NUM)%NUM+‘a‘;}elseif(cryptograph[i]>=‘A‘&&cryptograph[i]<=‘Z‘){//密码是小写字母,则明码也为小写字母proclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-‘A‘-key+NUM)%NUM+‘A‘;}else{//密码不是字母,则明码与明密相同proclaimedInWriting[i]=cryptograph[i];}}proclaimedInWriting[len]=‘\0‘;}
模运算及其简单应用就先讲到这了,其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛,我这这里搜集整理了一些最最基本的情形,希望能够起到一个抛砖引玉的作用,让更多的人关注模运算,并及其应用到更广阔的领域中。
 
 
 
 
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