散列表

直接寻址表

         一个数组T[0..m-1]中的每个位置分别对应全域U中的一个关键字，槽k指向集合中一个关键字为k的元素，如果该集合中没有关键字为k的元素，则T[k] = NIL

全域U={0,1,…,9}中的每个关键字都对应于表中的一个下标值，由实际关键字构成的集合K={2,3,5,8}决定表中的一些槽，这些槽包含指向元素的指针，而另一些槽包含NIL 

         直接寻址的技术缺点非常明显：如果全域U很大，则在一台标准的计算机可用内存容量中，要存储大小为|U|的一张表T也许不太实际，甚至是不可能的。还有，实际存储的关键字集合K相对于U来说可能很小，使得分配给T的大部分空间都将浪费掉，此时可以使用散列表改进。

散列表

         在直接寻址方式下，具有关键字k的元素被存放在槽k中，在散列方式下，该元素存放在h(k)中；即利用散列函数h，由关键字k计算出槽的位置，这里，函数h将关键字的全域U映射到散列表T[0,..,m-1]的槽位上。

h : U     {0,…,m-1}

         这里散列表的大小m一般要比|U|小得多，可以说一个具有关键字k的元素被散列到槽h(k)上

         这里存在一个缺点：两个关键字可能映射到同一个槽中，这种情形称为冲突，解决冲突的方法有很多。

解决冲突

链接法

         在链接法中，把散列到同一槽中的所有元素都放在一个链表中，如下图所示，槽j中有一个指针，它指向存储所有散列到j的元素的链表的表头；如果不存在这样的元素，槽j中为NIL

链表可以是单链表，但双链表的删除操作会更快

分析（查找一个关键字）

         给定一个能存放n个元素的，具有m个槽位的散列表T，定义T的装载因子α为n/m，即一个链表的平均存储元素数量，α可以大于，等于或者小于1.

         用链接法散列的最坏情况性能很差：所有的n个关键字都散列到同一个槽中，从而产生一个长度为n的链表，这时，最坏情况下查找时间为θ(n)，再加上计算散列函数的时间，如果就和用一个链表来链接所有的元素差不多了。

         散列方法的平均性能依赖于所选取的散列函数h，将所有关键字集合分布在m个槽位上的均匀程度。

         在平均情况下，查找一个关键字有两个结果：查找成功和查找不成功。

         在简单均匀散列的情况下，任何尚未被存储在表中的关键字k都等可能地被散列到m个槽中的任何一个，因此，当查找一个关键字k时，在不成功的情况下，查找的期望时间就是查找到链表T[h(k)]末尾的期望时间，这一时间的期望长度为α，于是一次不成功的查找平均要检查α个元素，并且所需要的总时间（包括计算h(k)的时间）为θ(1+α)

         在查找成功的情况下，平均需要的时间也是θ(1+α)，具体证明参考《算法导论》中文版146页。

总结

         上述的分析意味着，如果散列表中槽数至少与表中的元素成正比（比如说，当要散列的元素的数量增加时，散列表T的槽数也要保持同样比例的增长），则有

n = Ο(m)，从而α= n/m = Ο(m) / m = Ο(1)，所以查找操作平均时间需要常数时间。如果散列的元素的数量增加了，但是散列表的槽数没有增长，此时n = Ο(m)就不成立，散列表的操作时间就和之前的不一样了。

开放寻址法

         在开放寻址法中，所有的元素都存放在散列表中，也就是说，每个表项或包含动态集合的一个元素，或包含NIL。当查找某个元素时，要系统地检查所有的表项，知道查找到所需要的元素，或者最终查明该元素不在表中。不像链接法，这里既没有链表，也没有元素存放在散列表外，因此在开放寻址法中，散列表可能会被填满，以至于不能插入任何新的元素，因此装载因子α = n / m绝对不会超过1，也就是说，要散列的元素绝对不会多于槽的数量。

探查方式

线性探查

         给定一个普通的散列函数 h ‘ : U → { 0， 1， …， m - 1 }（称为辅助散列函数），线性探查方法采用的散列函数为：

                   h ( k ， i ) = ( h ‘( k ) + i ) mod m ， i = 0， 1， …， m - 1

         给定一个关键字 k ，第一个探查的槽是 T [ h ‘( k ) ]，亦即，由辅助散列函数所给出的槽。接下来探查的是槽 T [ h ‘ ( k ) + 1 ]， …，直到槽 T [ m - 1 ]，然后又绕到槽 T [ 0 ]， T [ 1 ]， …直到最后探查槽 T [ h ‘ ( k ) - 1 ]。在线性探查方法中，初始探查位置确定了整个序列，故只有 m 种不同的探查序列。

         线性探查方法很容易实现，但它存在一个问题，称作一次群集。随着时间的推移，连续被占用的槽不断增加，平均查找时间也随着不断增加。群集现象很容易出现，这是因为当一个空槽前有 i 个满的槽时，该空槽作为下一个将被占用槽的概率是( i + 1 ) / m 。连续被占用槽的序列将会越来越长，因而平均查找时间也会随之增加。

二次探查

         二次探查采用如下形式的散列函数：

                            h ( k ， i ) = ( h ‘ ( k ) + c₁ i + c₂i²) mod m

         其中 h ‘是一个辅助散列函数， c₁ 和 c₂ 为辅助常数（不等于0）， i = 0， 1， …， m - 1。初始的探查位置为 T [ h ‘( k ) ]，后续的探查位置要在此基础上加上一个偏移量，该偏移量以二次的方式依赖于探查号 i 。这种探查方法的效果要比线性探查好很多，但是，如果两个关键字的初始探查位置相同，那么他们的探查序列也是相同的，这是因为 h ( k1 ， 0 ) = h ( k2 ， 0 )蕴含着 h ( k1 ， i ) = h ( k2 ， i )。这一性质可导致一种程度较轻的群集现象，称为 二次群集。二次探查也只有 m 个不同的探查序列。

双重散列

         双重散列 是用于开放寻址法的最好方法之一，它采用如下形式的散列函数：

h ( k ， i ) = ( h₁ ( k ) + i h₂ ( k ) ) mod m

         其中 h₁ 和 h₂ 为辅助散列函数。初始探查位置为 T [ h₁ ( k ) ]，后续的探查位置在此基础上加上偏移量 h₂ ( k )模 m 。

         为能查找整个散列表，值 h₂ ( k )要与表的大小 m 互质。确保这个条件成立的一种方法是取 m 为 2 的幂，并设计一个总产生奇数的 h₂ 。另一种方法是取 m 为质数，并设计一个总是产生较 m 小的正整数的函数 h₂ 。例如，可以取m为素数，m^’略小于m，如下：

h₁ ( k ) = k mod m,   h₂ ( k ) = 1 + ( k mod m^’ )

         双重散列法中用了 Θ ( m² )中探查序列。

分析

         相对于链接法，开放寻址法的好处在于不需要用到指针，而是计算出槽的序列，于是，不用存储指针而节省的空间，使得可以用同样地空间来提供更多的槽，潜在地减少了冲突，提高了检索速度。

         从开放寻址法的散列表中删除元素比较困难，当从槽i中删除关键字时，不能仅仅将NIL置于其中来标识它为空，如果这样做就会出现问题：在插入关键字k时，发现槽i被占用了，则k会插入到后面的位置上；此时将槽i中的关键字删除后，就无法检索到关键字k了，有一个解决方法就是，在槽i中置一个特定的值DELETED替代NIL来标记空槽。当使用特殊的值DELETED时，查找时间就不再依赖于装载因子了，为此，在必须删除关键字的应用中，更常见的方法是采用链接法来解决冲突。

         给定一个装载因子为α = n / m，α<1，的开放寻址散列表，并假设是均匀散列的，则对于一次不成功的查找，其期望的探查次数至多为1 / (1 – α)。具体证明参考《算法导论中文版》P155.

         1/(1 - α) = 1 + α + α² + α³ + … 这个界有一个直观的解释，无论如何，总要进行第一次探查，第一次探查发现的是一个已经占用的槽时，必须要进行第二次探查，进行第二次探查的概率大约为α，前两次探查所发现的槽均已被占用时，进行第三次探查的概率大约为α²，等等

         如果α是一个常数，一次不成功查找的运行时间为Ο(1)，例如，如果散列表一半是满的，一次不成功查找的平均探查次数至多为1 / ( 1- 0.5) = 2，如果散列表90%是满的，则平均探查次数至多为1 / ( 1 – 0.9) = 10

         假设采用的是均匀散列，平均情况下，向一个装载因子为α的开放寻址散列表中插入一个元素之多需要做1/(1 - α)次探查，因为插入一个关键字首先要做一次不成功查找，所以插入元素的时间和一次不成功的探查时间相同。

         对于一个装载因子为α<1的开放寻址散列表，一次成功查找中的探查期望数至多为(1/α)ln(1/(1-α))。具体证明参考《算法导论中文版》P155.如果散列表是半满的，则一次成功的探查中，探查的期望数小于1.39，如果散列表为90%满的，则探查的期望数小于2.56

散列函数

除法散列法

         在 除数散列法 中，通过取 k 除以 m 的余数，来将关键字 k 映射到 m 个槽的某一个中去。亦即，散列函数为：

h ( k ) = k mod m

         当应用除数散列时，要注意 m 的选择，可选的 m 值通常是与 2 的整数幂不太接近的质数。

乘法散列法

         乘法散列法 包含两个步骤。第一步，用关键字 k 乘上常数 A （0 < A < 1），并抽取出 k A 的小数部分。然后，用 m 乘以这个值，再向下取整。散列函数为：

h ( k ) = floor( m ( k A mod 1 ))

         floor()函数为向下取整的意思。乘法方法的一个优点是对 m 的选择没有什么特别的要求，一般选择它为 2 的幂（ m = 2^p ， p 为某个整数）。

         例如：h ( k ) = ( A * k mod 2^w) rsh (w – r)，其中w为计算机的位数（32或者64位），m为槽的数量，rsh(w – r)意思为向右移位w – r 位，A是一个奇数，并且2^w-r < A < 2^w，m = 2^r

全域散列法

         任何的散列函数都可能出现最坏情况性态，即 n 个关键字都散列到同一个槽中，使得平均的检索时间为 Θ ( n )：唯一有效的改进方法是随机地选择散列函数，使之独立于要存储的关键字。这种方法称作全域散列。

         全域散列的基本思想是在执行开始时，就从一组仔细设计的函数中，随机地选择一个作为散列函数。随机化保证了没有哪一种输入会始终导致最坏情况性态。同时，随机化使得即使是对同一个输入，算法在每一次执行时的性态也是不一样的。这样就可以确保对于任何输入，算法都具有良好的平均情况性态。

         设 H 为有限的一组散列函数，它将给定的关键字域 U 映射到{ 0， 1， …， m - 1 }。这样的一组函数称为是 全域的 ，如果对每一对不同的关键字 k ， l ∈ U ，满足 h ( k ) = h ( l )的散列函数 h ∈ H 的个数至多为 | U | / m 。换言之，如果从 H 中随机选择一个散列函数，当关键字 k ≠ l 时，两个发生碰撞的概率不大于 1 / m ，这也正是从集合{ 0， 1， …， m - 1 }中随机地，独立地选择 h ( k )和 h ( l )时发生碰撞的概率。

         如果 h 选择一组全域的散列函数，并用于将 n 个关键字散列到一个大小为 m 的，用链接法解决碰撞的表 T 中。如果关键字 k 不在表中，则 k 被散列至其中的链表的期望长度E[ n_h(k) ]至多为 α 。如果关键字 k 在表中，则包含关键字 k 的链表的期望长度E[ n_h(k) ]至多为 1 + α 。

         对于一个具有 m 个槽位的表，利用全域散列和链接法解决碰撞，需要 Θ ( n )的期望时间来处理任何包含了 n 个 INSERT， SEARCH ， DELETE 操作的操作序列，该序列中包含了 O ( m )个 INSERT 操作。

设计一个全域散列函数类

　　1.选择一个素数，用m表示

　　2.把k分解成r+1位的数，k = <k₀, k_1, k₂, … k_r>    0 <= k_r <= m-1

　　3.选择一个数a = <a₀ , a₁ , … , a_r >,每一个a_i都从{0, 1, … , m-1}中随机选择

　　4.H_a ( k ) = mod m

完全散列

         可以采用两级的散列方法来设计完全散列方案，在每级上都使用全域散列，如下图所示：

外层的散列函数为h(k) = ((ak + b) mod p)mod m，一个二级散列表S_j中存储了所有散列到槽j中的关键字，其大小为m_j=n_j²,并且相关的散列函数为h_j(k) = ((a_jk + b_j)mod p)mod m_j

         第一级与带连接的散列表基本上一样：利用从某一全域组中仔细选出的一个散列函数h，将n个关键字散列到m个槽中。

         然而，采用一个较小的二次散列表S_j，及相关的散列函数h_j，而不是将散列到槽j中的所有关键字建立一个链表，利用精心选择的散列函数h_j，可以确保在第二级上不出现冲突。

         为了确保第二级上不出现冲突，需要让散列表S_j的大小m_j为散列到槽j中的关键字数n_j的平方，尽管m_j对n_j的这种二次依赖看上去可能使得总体存储需求很大，但是可以通过适当地选择第一级散列函数，可以将预期使用的总体存储空间限制为Ο(n)。

二级散列冲突的概率

         如果从一个全域散列函数类中随机选出散列函数h，将n个关键字存储在一个大小为m = n²的散列表中，那么表中出现冲突的概率小于1/2

         上述定理的意思：对于一个从H中随机选出的散列函数h，较有可能不会发生冲突，给定待散列的包含n个关键字的集合K，只需要几次随机的尝试，就能比较容易地找出一个没有冲突的散列函数h。

完全散列所需空间

         如果从某一个全域散列函数类中随机选出散列函数h，用它将n个关键字存储到一个大小为m = n的散列表中，并将每个二次散列表的大小设置为m_j = n_j²，则在一个完全散列方案中，存储所有二次散列表所需要的存储总量的期望值小于2n