求a^b mod c

算法1.

首先直接地来设计这个算法：

int  ans=1, i;  for(i=1;i<=b;i++)      ans*=a;  ans%=c;

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这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.

这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

a^b mod c=(a mod c)^b

引理：

(a *b) mod c =[ ( a mod c )* (b mod c) ] mod c ;

证明： 设 a mod c =d，b mod c= e;

       则：a=t*c + d ;  b=k*c + e ;

       (a*b)mod c = (t*c+d)(t*c+e)

                 = (tk c^2 + ( te+dk ) *c + d*e) mod c

                 =de mod c

即积的取余等于取余的积的取余.

(a ^ b)mod c 由上述公式迭代即可得到 ( a mod c)^b.

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，于是不用思考的进行了改进：

 算法2：

int ans = 1 , i ;     a = a % c; //加上这一句    for ( i = 1;i<=b;i++)        ans = ans * a;     ans = ans % c;    

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既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。 

算法3：

int  ans = 1 ,i ;    a = a % c;  for(int i = 1;i<=b;i++)       ans = (ans * a) % c; //这里再取了一次余   ans = ans % c;   

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这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。 

快速幂取余依赖于以下公式：

那么我们可以得到以下算法： 

算法4： 

int  ans = 1 ，i ;   a = a % c;   if (b%2==1)    ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，                       可以提前算到 ans 中。  k = (a*a) % c;  //我们取a^2 而不是a   for( i = 1;i<=b/2;i++)       ans = (ans * k) % c;    ans = ans % c;     

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我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).

当然，这样子治标不治本。

但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为 k^(b/2) mod c

而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过 ans = (ans * a) % c;

来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。 

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。

于是便可以在O（log b）的时间内完成了。

于是，有了最终的算法：快速幂算法。 

算法5：快速幂算法  

int ans = 1;  a = a % c;   while(b>0) {         if(b % 2 == 1)            ans = (ans * a) % c;       b = b/2;       a = (a * a) % c;    }   

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将上述的代码结构化，也就是写成函数： 

long long  PowerMod (int a, int b, int c)   {        int  ans = 1;       a = a % c;       while(b>0) {            if(b % 2 = = 1)               ans = (ans * a) % c;           b = b/2;       //   b>>=1;          a = (a * a) % c;       }       return ans;   }   

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