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树状数组彻底入门

2024-08-25 15:44:49   221人阅读

  1. int lowbit(int t)
  2. {
  3. return t&(-t);
  4. }
  1. void add(int x,int y)
  2. {
  3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
  4. tree[i]+=y;
  5. }
  1. int getsum(int x)
  2. {
  3. int ans=0;
  4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
  5. ans+=tree[i];
  6. return ans;
  7. }
     这篇笔记 会详细的讲解，使得队员们对树状数组彻底入门  而不是懵懵懂懂。
以上先给出 最常见的，三个函数。(单点更新，区间查询)
     网上的解释以及分析有很多，这里是我的一点总结和体会归纳一下，并且在周三(2016.12.07)的讲座之后会发布在团队笔记中，
     请队员们细细阅读，并且补题。
     下面开始
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树状数组  重点是在树状的数组
大家都知道二叉树吧
叶子结点代表A数组A[1]~A[8]
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 .......
现在变形一下
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 现在定义每一列的顶端结点C[]数组 
 如下图
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C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和// 这里以求和举例
如图可以知道
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
下面观察如下图
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将C[]数组的结点序号转化为二进制
1=(001)      C[1]=A[1];
2=(010)      C[2]=A[1]+A[2];
3=(011)      C[3]=A[3];
4=(100)      C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
5=(101)      C[5]=A[5];
6=(110)      C[6]=A[5]+A[6];
7=(111)      C[7]=A[7];
8=(1000)    C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
对照式子可以发现  C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;
可以自行带入验证;
现在引入lowbit(x) 
lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1  换言之  lowbit(x)=2^k  k的含义与上面相同 理解一下
下面说代码
  1. int lowbit(int t)
  2. {
  3. return t&(-t);
  4. }
  5. //-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
  6. //例如 :
  7. // t=6（0110） 此时 k=1
  8. //-t=-6=(1001+1)=(1010)
  9. // t&(-t)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
 
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区间查询
ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和 
举个例子 i=7;
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;   前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[6]=A[5]+A[6];   C[7]=A[7];
可以推出:   sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];
序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
 
再举个例子 i=5
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ;   前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[5]=A[5];
可以推出:   sum[5]=C[4]+C[5];
序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];
 
细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用
结合代码
  1. int getsum(int x)
  2. {
  3. int ans=0;
  4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
  5. ans+=C[i];
  6. return ans；
  7. }
对于i=7 进行演示 
                                  7(111)          ans+=C[7]
lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)    ans+=C[6]
lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)    ans+=C[4]
lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    
对于i=5 进行演示 
                                  5(101)           ans+=C[5]
lowbit(5)=001  5-lowbit(5)=4(100)    ans+=C[4]
lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)   
 
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单点更新
 
当我们修改A[]数组中的某一个值时  应当如何更新C[]数组呢？
回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图
 
结合代码分析
  1. void add(int x,int y)
  2. {
  3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
  4. tree[i]+=y;
  5. }
  6. //可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
  7. //由叶子结点向上更新C[]数组
 
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如图： 
当更新A[1]时  需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]
                     C[1],   C[2],    C[4],     C[8]
写为二进制  C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]
                                      1(001)        C[1]+=A[1]
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)     C[2]+=A[1]
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4]+=A[1]
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8]+=A[1]
 
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先这样 
讲解题目:
http://poj.org/problem?id=2299   poj 2299 
http://codeforces.com/contest/703/problem/D   cf 703D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



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