本题就是一题LIS（最长递增子序列）的问题。本题要求求最长递增子序列和最长递减子序列。

dp的解法是O(n*n)，这个应该大家都知道，不过本题应该超时了。

因为有O(nlgn）的解法。

但是由于本题的数据特殊性，故此本题可以利用这个特殊性加速到O(n)的解法，其中的底层思想是counting sort分段的思想。就是如果你不会counting sort的话，就很难想出这种优化的算法了。

O(nlgn)的单调队列解法，利用二分加速是有代表性的，无数据特殊的时候也可以使用，故此这里先给出这个算法代码。

看了代码就知道很简单的了，不过这里为了更加高效利用代码，就使用了函数指针，代码十分简洁了，初学者耐心点看，代码应该很好的：

#include <stdio.h>

const int MAX_N = 30000;
int arr1[MAX_N], arr2[MAX_N];
inline int max(int a, int b) { return a > b? a : b; }

inline bool larEqu(int a, int b) { return a <= b; }
inline bool smaEqu(int a, int b) { return a >= b; }

int biSearch(int low, int up, int val, bool (*func)(int , int))
{
	while (low <= up)
	{
		int mid = low + ((up-low)>>1);
		if (func(val, arr2[mid])) low = mid+1;
		else up = mid-1;
	}
	return low;
}

int getLIS(int n, bool (*func)(int, int))
{
	int j = 0;
	arr2[0] = arr1[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (func(arr1[i], arr2[j])) arr2[++j] = arr1[i];
		else arr2[biSearch(0, j, arr1[i], func)] = arr1[i];
	}
	return j+1;
}

int main()
{
	int n;
	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%d", &arr1[i]);
		}
		printf("%d\n", n-max(getLIS(n, larEqu), getLIS(n, smaEqu)));
	}
	return 0;
}

然后是O(n)的时间效率的算法。

就是因为只有1,2,3,这三个数据，故此可以分开窗口，分别记录1， 2， 3 的数据段，在利用上面单调队列的思想的时候，就可以不使用二分法了，而是直接插入就可以了，故此省去了lgn的时间，时间效率就优化到O(n)了。

这个算法卡了我的地方就是下标的问题，老是无法准确记录窗口下标的，故此这里使用个特殊的记录下标的方法，看代码就好像是个O(n*n)的算法，因为循环中有循环，但是大家仔细看，其实这是个O(n)算法，为什么呢？因为循环中的循环总共只是搜索了一遍n个数，无需重复搜索。

#include <stdio.h>

const int MAX_N = 30000;
int arr1[MAX_N], arr2[MAX_N];
inline int max(int a, int b) { return a > b? a : b; }

int getLIS(int n)
{
	int j = 0, one = 0, two = 0;
	arr2[0] = arr1[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (arr1[i] >= arr2[j])
		{
			arr2[++j] = arr1[i];
		}
		else
		{
			if (arr1[i] == 1)
			{
				while (arr2[one] < 2 && one < j) one++;
				arr2[one] = arr1[i];
			}
			else
			{
				while (arr2[two] < 3 && two < j) two++;
				arr2[two] = arr1[i];
			}
		}
	}
	return j+1;
}

int getLDS(int n)
{
	int j = 0, two = 0, thr = 0;
	arr2[0] = arr1[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (arr1[i] <= arr2[j]) arr2[++j] = arr1[i];
		else
		{
			if (arr1[i] == 3)
			{
				while (arr2[thr] > 2 && thr < j) thr++;
				arr2[thr] = arr1[i];
			}
			else
			{
				while (arr2[two] > 1 && two < j) two++;
				arr2[two] = arr1[i];
			}
		}
	}
	return j+1;
}

int main()
{
	int n;
	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%d", &arr1[i]);
		}
		printf("%d\n", n-max(getLIS(n), getLDS(n)));
	}
	return 0;
}